已知 1<a 2，函数 f(x)=e^ x -x-a，其中…——2020 高考数学第 22 题答案解析

【分析】（I）推导出 $x>0$ 时，$f^{\prime}(x)=e^{x}-1>0$ 恒成立，$f(0)=<0, f(2)>$ 0 ，由此能证明函数 $y=f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上有唯一零点．
（II）（i）由 $f(x)$ 单调增， $11$ ，推导出 $\mathrm{x}_{0} \leqslant \sqrt{2(\mathrm{a}-1)}$ ．要证明 $\mathrm{x}_{0}{ }^{2} \geqslant a-1=\mathrm{e}^{\mathrm{x}_{0}}-\mathrm{x}_{0}-1$ ，只需证明 $\mathrm{e}^{\mathrm{x}_{0}}-\mathrm{x}_{0}{ }^{2}-\mathrm{x}_{0}-1 \leqslant 0$ ，记 $h(x)=e^{x}-1-x-x^{2}(0 \leqslant x \leqslant t)$ ，则 $h^{\prime}(x)=e^{x}-1- 2 x$ ，利用导数性质能证明 $\sqrt{\mathbf{a}-1} \leqslant X_{0} \leqslant \sqrt{2(\mathbf{a}-1)}$ ．
（ii）要证明 $x_{0} f\left(e \mathbf{x}_{0}\right) \geqslant(e-1)(a-1) a$ ，只需证明 $x_{0} f\left(x_{0}+a\right) \geqslant(e-1) ~(a-$ 1）$a$ ，只需证 $\frac{\mathbf{a}}{\sqrt{\mathbf{a}-1}}-\frac{\sqrt{\mathbf{a}-1}}{\mathbf{a}} \geqslant 2(e-2)$ ，由此能证明 $x_{0} f\left(\epsilon \mathbf{x}_{0}\right) \geqslant(e-1)(a-1)$ a．

【解答】证明：（I ）$\because f(x)=e^{x}-x-a=0(x>0), \therefore f^{\prime}(x)=e^{x}-1>0$ 恒成立，
$\therefore f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，
$\because 10$ ，又 $f(0)=1-a<0$,
∴ 函数 $y=f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上有唯一零点．
（II）（i）∵ $f(x)$ 单调增， $1$\therefore f(1)=c-1-2<0$ ，则 $t>1$ ，
右边：由于 $x \geqslant 0$ 时，$e^{x} \geqslant 1+x+\frac{1}{2} \mathrm{x}^{2}$ ，且 $\mathrm{e}^{\mathrm{x}_{0}}-x_{0}-a=0$ ，
则 $a \geqslant 1+\frac{1}{2} \mathrm{x}_{0}{ }^{2}, \therefore \mathrm{x}_{0} \leqslant \sqrt{2(\mathrm{a}-1)}$ ．
左边：要证明 $\mathrm{x}_{0}{ }^{2} \geqslant a-1=\mathrm{e}^{\mathrm{x}_{0}}-\mathrm{x}_{0}-1$ ，只需证明 $\mathrm{e}^{\mathrm{x}_{0}}-\mathrm{x}_{0}{ }^{2}-\mathrm{x}_{0}-1 \leqslant 0$ ，
记 $h(x)=e^{x}-1-x-x^{2}(0 \leqslant x \leqslant t)$ ，则 $h^{\prime}(x)=e^{x}-1-2 x$ ，
$h^{\prime \prime}(x)=e^{x}-2, \therefore h^{\prime}(x)$ 在 $(0, \ln 2)$ 上单调减，在 $(\ln 2,+\infty)$ 上单调增，
$\therefore h^{\prime} \quad(x)=e^{x}-1-2 x \leqslant \max \left\{h^{\prime} \quad(0), h^{\prime} \quad(t)\right\}=0$,
$\therefore h(x)$ 在 $0 \leqslant x \leqslant t$ 时单调减，$h(x)=e^{x}-1-x-x^{2} \leqslant h(0)=0$ ，
$\therefore \sqrt{\mathrm{a}-1} \leqslant x_{0} \leqslant \sqrt{2(\mathrm{a}-1)}$ ．

（ii）要证明 $x_{0} f\left(e_{0}\right) \geqslant(e-1)(a-1) a$ ，只需证 $x_{0} f\left(x_{0}+a\right) \geqslant(e-1)(a-1)$ a，

只需证 $\mathrm{e}^{\sqrt{\mathrm{a}-1}+\mathrm{a}}-\sqrt{\mathrm{a}-1}-2 \mathrm{a} \geqslant(e-1) a \sqrt{\mathrm{a}-1}$ ，
$\because e^{x} \geqslant 1+X_{X}+\frac{1}{2} \mathbf{x}^{2}, \quad \therefore$ 只需证 $1+\frac{1}{2}(\sqrt{\mathbf{a}-1}+\mathbf{a})^{2}-\mathbf{a} \geqslant(e-1) a \sqrt{\mathbf{a}-1}$ ，
只需证 $\mathbf{a}^{2}-(\sqrt{\mathbf{a}-1})^{2}-2(e-2) a \sqrt{\mathbf{a}-1} \geqslant 0$ ，即证 $\frac{\mathbf{a}}{\sqrt{\mathbf{a}-1}}-\frac{\sqrt{\mathbf{a}-1}}{\mathbf{a}} \geqslant 2(e-2)$ ，
$\because \frac{a}{\sqrt{a-1}}=\frac{1}{\sqrt{a-1}}+\sqrt{a-1} \in(2,+\infty)$ ，
$\therefore \frac{a}{\sqrt{a-1}}-\frac{\sqrt{a-1}}{a} \geqslant 2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} \geqslant(2 e-2)$ ，
$\therefore x_{0} f\left(e \mathrm{x}_{0}\right) \geqslant(e-1) \quad(a-1) \quad a$.