2020 浙江卷 数学　·　真题与答案解析

1．已知集合 $P=\left\{x \mid 1<_{X}<4\right\}, Q=\left\{x \mid 2<_{X}<3\right\}$ ，则 $P \cap Q=$

2．已知 $a \in \mathrm{R}$ ，若 $a-1+(a-2) i$（ $i$ 为虚数单位）是实数，则 $a=$

3．若实数 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}-3 \mathrm{y}+1 \leqslant 0 \\ \mathrm{x}+\mathrm{y}-3 \geqslant 0\end{array}\right.$ ，则 $z=x+2 y$ 的取值范围是

4．函数 $y=x \cos x+\sin x$ 在区间 $[-\pi,+\pi]$ 的图象大致为（）

5．某几何体的三视图（单位： cm ）如图所示，则该几何体的体积（单位： $\mathrm{cm}^{3}$ ）是（）  主视图  侧视图  俯视图

6．已知空间中不过同一点的三条直线 $m, n, l$ ，则＂$m, n, l$ 在同一平面＂是＂$m, n, l$ 两两相交＂的

7．已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，公差 $d \neq 0, \frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{~d}} \leqslant 1$ 。记 $b_{1}=S_{2}, b_{n+1}=S_{n+2}-S_{2 n}, n \in \mathrm{~N} *$ ，下列等式不可能成立的是（ ）

8．已知点 $O(0,0), A(-2,0), B(2,0)$ ．设点 $P$ 满足 $|P A|-|P B|=2$ ，且 $P$ 为函数 $y=3 \sqrt{4-\mathrm{x}^{2}}$ 图象上的点，则 $|O P|=$（ ）

9．已知 $a, b \in \mathrm{R}$ 且 $a b \neq 0$ ，若 $(x-a)(x-b)(x-2 a-b) \geqslant 0$ 在 $x \geqslant 0$ 上恒成立，则（ ）

10．设集合 $S, T, S \subseteq \mathrm{~N} *, T \subseteq \mathrm{~N} *, S, T$ 中至少有两个元素，且 $S, T$ 满足： ①对于任意 $x, y \in S$ ，若 $x \neq y$ ，都有 $x y \in T$ ； ②对于任意 $x, y \in T$ ，若 $x<y$ ，则 $\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}} \in S$ ；下列命题正确的是（ ）

11．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n}=\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)}{2}$ ，则 $S_{3}=$ $\_\_\_\_$ 10 ．

12．设 $(1+2 x)^{5}=a_{1}+a_{2} x+a_{3} x^{2}+a_{4} x^{3}+a_{5} x^{4}+a_{6} x^{5}$ ，则 $a_{5}=$ $\_\_\_\_$ ；$a_{1}+a_{2}+a=$ $\_\_\_\_$。

13．已知 $\tan \theta=2$ ，则 $\cos 2 \theta=$ $\_\_\_\_$ $-\frac{3}{5} ; \tan \left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)=$ $\_\_\_\_$ $\frac{1}{3}$。

14．已知圆锥展开图的侧面积为 $2 \pi$ ，且为半圆，则底面半径为 $\_\_\_\_$ 1 ．

15．设直线 $1: y=k x+b(k>0)$ ，圆 $C_{1}: x^{2}+y^{2}=1, C_{2}:(x-4)^{2}+y^{2}=1$ ，若直线 $l$ 与 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 都相切，则 $k=-\frac{\sqrt{3}}{3}$ — $b=-\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ —。

16．一个盒子里有 1 个红 1 个绿 2 个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为 $\xi$ ，则 $P(\xi=0)=-\frac{1}{3}$ — $; E(\xi)=$ $\_\_\_\_$ 1。

17．设 $\overrightarrow{\mathrm{e}_{1}}, \overrightarrow{\mathrm{e}_{2}}$ 为单位向量，满足 $\left|2 \overrightarrow{\mathrm{e}_{1}}-\overrightarrow{\mathrm{e}_{2}}\right| \leqslant \sqrt{2}, \overrightarrow{\mathrm{a}}=\overrightarrow{\mathrm{e}_{1}}+\overrightarrow{\mathrm{e}_{2}}, \overrightarrow{\mathrm{~b}}=3 \overrightarrow{\mathrm{e}_{1}}+\overrightarrow{\mathrm{e}_{2}}$ ，设 $\overrightarrow{\mathrm{a}}, \overrightarrow{\mathrm{b}}$的夹角为 $\theta$ ，则 $\cos ^{2} \theta$ 的最小值为 $\_\_\_\_$ $\frac{28}{29}$ ．

18．在锐角 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $2 b \sin A=\sqrt{3} a$ ． （I）求角 $B$ ； （II）求 $\cos A+\cos B+\cos C$ 的取值范围．

19．如图，三棱台 $D E F-A B C$ 中，面 $A D F C \perp$ 面 $A B C, \angle A C B=\angle A C D=45^{\circ}, D C=2 B C$ ． （ I ）证明：$E F \perp D B$ ； （II）求 $D F$ 与面 $D B C$ 所成角的正弦值． 

20．已知数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\},\left\{\mathrm{c}_{\mathrm{n}}\right\}$ 中，$a_{1}=b_{1}=c_{1}=1, c_{n+1}=a_{n+1}-a_{n}, c_{n+1}=\frac{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}}{\mathrm{b}_{\mathrm{n}+2}} \cdot \mathrm{c}_{\mathrm{n}}(n \in \mathrm{~N} *)$ ． （I）若数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 为等比数列，且公比 $q>0$ ，且 $b_{1}+b_{2}=6 b_{3}$ ，求 $q$ 与 $a_{n}$ 的通项公式； （II）若数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 为等差数列，且公差 $d>0$ ，证明：$c_{1}+c_{2}+\cdots+\mathrm{c}_{\mathrm{n}}<1+\frac{1}{\mathrm{~d}}$ ．

21．如图，已知椭圆 $C_{1}: \frac{\mathrm{x}^{2}}{2}+y^{2}=1$ ，抛物线 $C_{2}: y^{2}=2 p x(p>0)$ ，点 $A$ 是椭圆 $C_{1}$ 与抛物线 $C_{2}$ 的交点，过点 $A$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C_{1}$ 于点 $B$ ，交抛物线 $C_{2}$ 于 $M(B, M$ 不同于 $A)$ ． （I）若 $p=\frac{1}{16}$ ，求抛物线 $C_{2}$ 的焦点坐标； （II）若存在不过原点的直线 $I$ 使 $M$ 为线段 $A B$ 的中点，求 $p$ 的最大值． 

22．已知 $1<a \leqslant 2$ ，函数 $f(x)=e^{x}-x-a$ ，其中 $e=2.71828 \cdots$ 为自然对数的底数． （ I ）证明：函数 $y=f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上有唯一零点； （II）记 $x_{0}$ 为函数 $y=f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上的零点，证明： （i）$\sqrt{\mathrm{a}-1} \leqslant X_{0} \leqslant \sqrt{2(\mathrm{a}-1)}$ ； （ii）$x_{0} f\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}_{0}}\right) \geqslant(e-1)(a-1) a$ ．