在 ABC 中，角A，B，C所对的边长分别为 a, b,…——2010 高考数学第 7 题答案解析

【解答】
（5分）（2010•湖南）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，角A，B，C所对的边长分别为 $a, b, c$ ，若 $\angle \mathrm{C}=120 { }^{\circ}, c=\sqrt{2} a$ ，则（ ）
A． $\mathrm{a}>\mathrm{b}$
B． $\mathrm{a}<\mathrm{b}$
C．$a=b$
D． a 与 b 的大小关系不能确定

【考点】余弦定理；不等式的基本性质。
【专题】计算题；压轴题．
【分析】由余弦定理可知 $\mathrm{c}^{2}=\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}-2 \mathrm{ab} \cos \mathrm{C}$ ，进而求得 $\mathrm{a}-\mathrm{b}=\frac{\mathrm{ab}}{\mathrm{a}+\mathrm{b}}$ ，根据 $\frac{\mathrm{ab}}{\mathrm{a}+\mathrm{b}}>0$ 判断出 $\mathrm{a}>$
b．
【解答】解：$\because \angle \mathrm{C}=120^{\circ}, \mathrm{c}=\sqrt{2} \mathrm{a}$ ，
∴ 由余弦定理可知 $\mathrm{c}^{2}=\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}-2 \mathrm{ab} \operatorname{cosC}$ ，
$\therefore \mathrm{a}^{2}-\mathrm{b}^{2}=\mathrm{ab}, \quad \mathrm{a}-\mathrm{b}=\frac{\mathrm{ab}}{\mathrm{a}+\mathrm{b}}$,
$\because a>0, \quad b>0$,
$\therefore \mathrm{a}-\mathrm{b}=\frac{\mathrm{ab}}{\mathrm{a}+\mathrm{b}}$,
$\therefore \mathrm{a}>\mathrm{b}$
故选A
【点评】本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法，属中档题．