2010_北京卷
4．（6分）一物体静置在平均密度为ρ的球形天体表面的赤道上．已知万有引力常量G，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为（ ）A $( \frac { 4 \pi } { 3 5 \mathsf { P } } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } }$ B $( \frac { 3 } { 4 \pi { \mathfrak { G } } { \mathfrak { P } } } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } }$ C $( \frac { \pi } { \mathfrak { G } \rho } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } }$ D $( \frac { 3 \pi } { \mathsf { G P } } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } }$
D
【解答】
（6分）一物体静置在平均密度为ρ的球形天体表面的赤道上．已知万有引力常量G，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为（ ）A $( \frac { 4 \pi } { 3 5 \mathsf { P } } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } }$ B $( \frac { 3 } { 4 \pi { \mathfrak { G } } { \mathfrak { P } } } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } }$ C $( \frac { \pi } { \mathfrak { G } \rho } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } }$ D $( \frac { 3 \pi } { \mathfrak { G } \rho } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } }$
【考点】4F：万有引力定律及其应用
【分析】物体对天体压力为零，根据万有引力等于向心力可以求出周期，同时根据质量和密度关系公式即可求解周期与密度关系式
【解答】解：万有引力等于向心力
$$ \mathrm { G } \frac { \mathbb { M } \mathtt { m } } { \mathtt { R } ^ { 2 } } { = } \mathtt { m } ( \frac { 2 \pi } { \mathtt { T } } ) \begin{array} { l } { 2 } \\ { \mathtt { R } } \end{array} $$
解得
$$ \mathrm { M } { = } \frac { 4 \pi ^ { 2 } \mathrm { R } ^ { 3 } } { \mathsf { G T } ^ { 2 } } $$
又由于
$$ { \mathrm { M } } { = } { \rho } { \mathrm { V } } { = } { \rho } \ ( \frac { 4 } { 3 } \pi \ { \ R } ^ { 3 } ) $$
因而
$$ \frac { 4 \pi ^ { 2 } \mathbb { R } ^ { 3 } } { \mathfrak { G T } ^ { 2 } } = \mathbf { p } \ ( \frac { 4 } { 3 } \pi \mathbb { R } ^ { 3 } ) $$
解得
$$ \mathrm { T } = \sqrt { \frac { 3 \pi } { \mathfrak { G } \rho } } $$
故选：D。
【点评】本题关键是抓住万有引力等于向心力列式求解，同时本题结果是一个有用的结论！