（本小题满分 10 分） 设整数 n ≥ 4, P(a,…——2011 高考数学第 23 题答案解析

【解答】
（本小题满分 10 分）
设整数 $n \geqslant 4, P(a, b)$ 是平面直角坐标系 $x O y$ 中的点．
其中 $a, b \in\{1,2,3, \cdots, n\}, a>b$ ．
（1）记 $A_{n}$ 为满足 $a-b=3$ 的点 $P$ 的个数，求 $A_{n}$ ；
（2）记 $B_{n}$ 为满足 $\frac{1}{3}(a-b)$ 是整数的点 $P$ 的个数，求 $B_{n}$ ．

（第 22 㟶）

【解答】
【必做题】本小题主要考查计数原理，考查探究能力．满分 10 分．

解：（1）点 $P$ 的坐标满足条件： $1 \leqslant b=a-3 \leqslant n-3$ ，所以 $A_{n}=n-3$ ．
②设 $k$ 为正整数，记 $f_{n}(k)$ 为满足题设条件以及 $a-b=3 k$ 的点 $P$ 的个数．只要讨论 $f_{n}(k) \geqslant 1$ 的情形．由 $1 \leqslant b=a-3 k \leqslant n-3 k$ 知 $f_{n}(k)=n-3 k$ ，且 $k \leqslant \frac{n-1}{3}$ ．
设 $n-1=3 m+r$ ，其中 $m \in \mathbf{N}^{*}, r \in\{0,1,2\}$ ，则 $k \leqslant m$ ．所以

$$ B_{n}=\sum_{k=1}^{m} f_{n}(k)=\sum_{k=1}^{m}(n-3 k)=m n-\frac{3 m(m+1)}{2}=\frac{m(2 n-3 m-3)}{2} . $$

将 $m=\frac{n-1-r}{3}$ 代人上式，化简得 $B_{n}=\frac{(n-1)(n-2)}{6}-\frac{r(r-1)}{6}$ ．
所以 $B_{n}=\left\{\begin{array}{l}\frac{n(n-3)}{6}, \frac{n}{3} \text { 是整数，} \\ \frac{(n-1)(n-2)}{6}, \frac{n}{3} \text { 不是整数．}\end{array}\right.$