如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续（…——2014 高考数学第 10 题答案解析

## 【答案】A

## 【解析】

试题分析：由题目图像可知：该三次函数过原点，故可设该三次函数为 $y=f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x$，则 $y^{\prime}=f^{\prime}(x)=3 a x^{2}+2 b x+c$，由题得：$f^{\prime}(0)=-1, f(2)=0, f^{\prime}(2)=3$

即 $\left\{\begin{array}{c}c=-1 \\ 8 a+4 b+2 c=0 \\ 12 a+4 b+c=3\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{c}a=\frac{1}{2} \\ b=-\frac{1}{2} \\ c=-1\end{array}\right.$，所以 $y=\frac{1}{2} x^{3}-\frac{1}{2} x^{2}-x$，故选 $A$．
考点：函数的解析式．