2014_退役省自主命题 (2014·文)
10．如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为
A
先把常见基础得分点练稳，再回来处理综合题。
【答案】A
【解析】
试题分析：由题目图像可知：该三次函数过原点，故可设该三次函数为 $y=f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x$，则 $y^{\prime}=f^{\prime}(x)=3 a x^{2}+2 b x+c$，由题得：$f^{\prime}(0)=-1, f(2)=0, f^{\prime}(2)=3$
即 $\left\{\begin{array}{c}c=-1 \\ 8 a+4 b+2 c=0 \\ 12 a+4 b+c=3\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{c}a=\frac{1}{2} \\ b=-\frac{1}{2} \\ c=-1\end{array}\right.$，所以 $y=\frac{1}{2} x^{3}-\frac{1}{2} x^{2}-x$，故选 $A$．
考点：函数的解析式．