2015_省自主命题（福建）
16．某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的 6 个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.
(Ⅰ)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
(Ⅱ)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望
$( \mathrm { ~ I ~ } ) \frac { 1 } { 2 }$ ；(Ⅱ)分布列见解析，期望为 $\frac { 5 } { 2 }$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】 $( \mathrm { ~ I ~ } ) \frac { 1 } { 2 }$ ；(Ⅱ)分布列见解析，期望为 $\frac { 5 } { 2 }$
【解析】（Ⅰ）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，则 $P ( \mathrm { A } ) = \frac { 5 } { 6 } \times \frac { 4 } { 5 } \times \frac { 3 } { 4 } = \frac { 1 } { 2 }$
（Ⅱ）依题意得，X所有可能的取值是1，2，3
$$ P ( { \mathrm { X } } { = } 1 ) = { \frac { 1 } { 6 } } , P ( { \mathrm { X } } { = } 2 ) = { \frac { 5 } { 6 } } \times { \frac { 1 } { 5 } } = { \frac { 1 } { 6 } } , P ( { \mathrm { X } } { = } 3 ) = { \frac { 5 } { 6 } } \times { \frac { 4 } { 5 } } \times 1 { = } { \frac { 2 } { 3 } } . $$
所以X的分布列为
<table><tr><td rowspan=1 colspan=1>X</td><td rowspan=1 colspan=1>1</td><td rowspan=1 colspan=1>2</td><td rowspan=1 colspan=1>3</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>p</td><td rowspan=1 colspan=1> $\frac { 1 } { 6 }$ </td><td rowspan=1 colspan=1> $\frac { 1 } { 6 }$ </td><td rowspan=1 colspan=1> $\frac { 2 } { 3 }$ </td></tr></table>
所以 $\operatorname { E } ( \operatorname { X } ) = 1 ^ { \cdot } { \frac { 1 } { 6 } } + 2 ^ { \cdot } { \frac { 1 } { 6 } } + 3 ^ { \cdot } { \frac { 2 } { 3 } } = { \frac { 5 } { 2 } }$
【考点定位】1、古典概型；2、离散型随机变量的分布列和期望
【名师点睛】本题考查古典概型和随机变量的期望，第一问，将事件转化为所选的三个密码都不是该银行卡密码，共有 $A _ { 5 } ^ { 3 }$ 种，而基本事件总数为 $A _ { 6 } ^ { 3 }$ ，代入古典概型概率计算公式；第二问，写出离散型随机变量所有可能取值，并求取相应值的概率，写成分布列求期望即可．确定离散型取值时，要科学兼顾其实际意义，做到不重不漏，计算出概率后要注意检验概率和是否为1，以便及时矫正。