2014_退役省自主命题 (2014·理)
16．（本小题满分 13 分）
已知函数 $f(x)=\cos x(\sin x+\cos x)-\frac{1}{2}$ ．
（1）若 $0<\alpha<\frac{\pi}{2}$ ，且 $\sin \alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，求 $f(\alpha)$ 的值；
（2）求函数 $f(x)$ 的最小正周期及单调递增区间．
(1) $\frac{1}{2}$; (2) $\pi,\left[k \pi-\frac{3 \pi}{8}, k \pi+\frac{\pi}{8}\right], k \in Z$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】①$\frac{1}{2}$ ；（2）$\pi,\left[k \pi-\frac{3 \pi}{8}, k \pi+\frac{\pi}{8}\right], k \in Z$
【解析】
试题分析：（1）由 $0<\alpha<\frac{\pi}{2}$ ，且 $\sin \alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，求出角 $\alpha$ 的余弦值，再根据函数
$f(x)=\cos x(\sin x+\cos x)-\frac{1}{2}$ ，即可求得结论．
（2）已知函数 $f(x)=\cos x(\sin x+\cos x)-\frac{1}{2}$ ，由正弦与余弦的二倍角公式，以及三角函数的化一公式，将函数 $f(x)$ 化简。根据三角函数周期的公式卟可的结论。根据函科单调迷增区间，通过解不等式即可得到所求的结论．
试题解析：①因为 $0<\alpha<\frac{\pi}{2}, \sin \alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，所以 $\cos \alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．所以 $f(\alpha)=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
②因为
$f(x)=\sin x \cos x+\cos ^{2} x-\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \sin 2 x+\frac{1+\cos 2 x}{2}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \sin 2 x+\frac{1}{2} \cos 2 x=\frac{\sqrt{2}}{2} \sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)$ ，所以 $T=\frac{2 \pi}{2}=\pi$ ．由 $2 k \pi-\frac{\pi}{2} \leq 2 x+\frac{\pi}{4} \leq 2 k \pi+\frac{\pi}{2}, k \in Z$ ，得 $k-\frac{3 \pi}{8} \leq x \leq k \pi+\frac{\pi}{8}, k \in Z$ ．所以 $f(x)$ 的单调造增区间为 $\left[k \pi-\frac{3 \pi}{8}, k \pi+\frac{\pi}{8}\right], k \in Z$ ．
考点：1．三角函数的性质．2．三角的恒等变形。