19．（14分）（2010•北京）在平面直角坐标系 xOy 中，点 B 与点 $\mathrm{A}(-1,1)$ 关于原点 O 对称， P 是动点，且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于 $-\frac{1}{3}$ ．
（I）求动点 P 的轨迹方程；
（II）设直线 $A P$ 和 $B P$ 分别与直线 $x=3$ 交于点 $M, N$ ，问：是否存在点 $P$ 使得 $\triangle P A B$ 与 $\triangle P M N$的面积相等？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由．
（14分）（2010•北京）在平面直角坐标系 xOy 中，…——2010 高考数学第 19 题答案解析
2010_北京卷 (2010·理)
完整解析 · 逐步详解
【考点】轨迹方程；三角形中的几何计算；点到直线的距离公式。
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（I）设点 P 的坐标为（ $\mathrm{x}, \mathrm{y}$ ），先分别求出直线 AP 与 BP 的斜率，再利用直线 AP与 BP 的斜率之间的关系即可得到关系式，化简后即为动点 P 的轨迹方程；
（II）对于存在性问题可先假设存在，由面积公式得：
$\frac{1}{2}|\mathrm{PA}| \cdot|\mathrm{PB}| \sin \angle \mathrm{APB}=\frac{1}{2}|\mathrm{PM}| \cdot|\mathrm{PN}| \sin \angle \mathrm{MPN}$ 。根据角相等消去三角函数得比例式，最后得到关于点 P 的纵坐标的方程，解之即得。
【解答】解：（I）因为点 B 与 $\mathrm{A}(-1,1)$ 关于原点 O 对称，所以点 B 得坐标为 $(1,-1)$ －
设点 P 的坐标为 $(\mathrm{x}, \mathrm{y})$
$\frac{y-1}{x+1} \cdot \frac{y+1}{x-1}=-\frac{1}{3}$
化简得 $x^{2}+3 y^{2}=4(x \neq \pm 1)$ ．
故动点 P 轨迹方程为 $\mathrm{x}^{2}+3 \mathrm{y}^{2}=4(x \neq \pm 1)$
（II）解：若存在点 $P$ 使得 $\triangle P A B$ 与 $\triangle P M N$ 的面积相等，设点 $P$ 的坐标为 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$
则 $\frac{1}{2}|\mathrm{PA}| \cdot|\mathrm{PB}| \sin \angle \mathrm{APB}=\frac{1}{2}|\mathrm{PM}| \cdot|\mathrm{PN}| \sin \angle \mathrm{MPN}$ ．
因为 $\sin \angle \mathrm{APB}=\sin \angle \mathrm{MPN}$ ，
所以 $\frac{|\mathrm{PA}|}{|\mathrm{PM}|}=\frac{|\mathrm{PN}|}{|\mathrm{PB}|}$
所以 $\frac{\left|\mathrm{x}_{0}+1\right|}{\left|3-\mathrm{x}_{0}\right|}=\frac{\left|3-\mathrm{x}_{0}\right|}{\left|\mathrm{x}_{0}-1\right|}$
即 $\left(3-x_{0}\right)^{2}=\left|x_{0}{ }^{2}-1\right|$ ，解得 $x_{0}=\frac{5}{3}$
因为 $\mathrm{x}_{0}{ }^{2}+3 \mathrm{y}_{0}{ }^{2}=4$ ，所以 $\mathrm{y}_{0}= \pm \frac{\sqrt{33}}{9}$
故存在点 P 使得 $\triangle \mathrm{PAB}$ 与 $\triangle \mathrm{PMN}$ 的面积相等，此时点 P 的坐标为 $\left(\frac{5}{3}, \pm \frac{\sqrt{33}}{9}\right)$ ．
【点评】本题主要考查了轨迹方程、三角形中的几何计算等知识，属于中档题．
✅ 来源：2010年 · 北京 · 2010_北京卷 (2010·理) · 第 19 题 · 本题已通过人工审核与系统自动校验