2010 北京高考数学 2010_北京卷 (2010·理) 第 19 题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

19．（14分）（2010•北京）在平面直角坐标系 xOy 中，点 B 与点 $\mathrm{A}(-1,1)$ 关于原点 O 对称， P 是动点，且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于 $-\frac{1}{3}$ ．
（I）求动点 P 的轨迹方程；
（II）设直线 $A P$ 和 $B P$ 分别与直线 $x=3$ 交于点 $M, N$ ，问：是否存在点 $P$ 使得 $	riangle P A B$ 与 $	riangle P M N$的面积相等？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由．

Accepted Answer

【考点】轨迹方程；三角形中的几何计算；点到直线的距离公式。 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题． 【分析】（I）设点 P 的坐标为（ $\mathrm{x}, \mathrm{y}$ ），先分别求出直线 AP 与 BP 的斜率，再利用直线 AP与 BP 的斜率之间的关系即可得到关系式，化简后即为动点 P 的轨迹方程； （II）对于存在性问题可先假设存在，由面积公式得： $\frac{1}{2}|\mathrm{PA}| \cdot|\mathrm{PB}| \sin \angle \mathrm{APB}=\frac{1}{2}|\mathrm{PM}| \cdot|\mathrm{PN}| \sin \angle \mathrm{MPN}$ 。根据角相等消去三角函数得比例式，最后得到关于点 P 的纵坐标的方程，解之即得。 【解答】解：（I）因为点 B 与 $\mathrm{A}(-1,1)$ 关于原点 O 对称，所以点 B 得坐标为 $(1,-1)$ － 设点 P 的坐标为 $(\mathrm{x}, \mathrm{y})$ $\frac{y-1}{x+1} \cdot \frac{y+1}{x-1}=-\frac{1}{3}$ 化简得 $x^{2}+3 y^{2}=4(x 
eq \pm 1)$ ． 故动点 P 轨迹方程为 $\mathrm{x}^{2}+3 \mathrm{y}^{2}=4(x 
eq \pm 1)$ （II）解：若存在点 $P$ 使得 $	riangle P A B$ 与 $	riangle P M N$ 的面积相等，设点 $P$ 的坐标为 $\left(x_{0}, y_{0}ight)$ 则 $\frac{1}{2}|\mathrm{PA}| \cdot|\mathrm{PB}| \sin \angle \mathrm{APB}=\frac{1}{2}|\mathrm{PM}| \cdot|\mathrm{PN}| \sin \angle \mathrm{MPN}$ ． 因为 $\sin \angle \mathrm{APB}=\sin \angle \mathrm{MPN}$ ， 所以 $\frac{|\mathrm{PA}|}{|\mathrm{PM}|}=\frac{|\mathrm{PN}|}{|\mathrm{PB}|}$ 所以 $\frac{\left|\mathrm{x}_{0}+1ight|}{\left|3-\mathrm{x}_{0}ight|}=\frac{\left|3-\mathrm{x}_{0}ight|}{\left|\mathrm{x}_{0}-1ight|}$ 即 $\left(3-x_{0}ight)^{2}=\left|x_{0}…

2010 高考数学第 19 题答案解析

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