2013_北京卷
7．（5 分）双曲线 $\scriptstyle \mathbf { x } ^ { 2 } - { \frac { \mathbf { y } ^ { 2 } } { \mathtt { m } } } = 1$ 的离心率大于 $\sqrt { 2 }$ 的充分必要条件是（ ）A $m > \frac { 1 } { 2 }$ B $\mathsf { m } \geqslant 1$ C $\mathsf { m } > 1$ D $\mathsf { m } { } > 2$
C
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程；5L：简易逻辑
【分析】根据双曲线的标准形式，可以求出a=1， $\scriptstyle \mathsf { b } = { \sqrt { \pi } } , \mathsf { c } = { \sqrt { 1 + \pi } }$ ．利用离心率e大于 $\sqrt { 2 }$ 建立不等式，解之可得 $\mathsf { m } > 1$ ，最后利用充要条件的定义即可得出正确答案
【解答】解：双曲线 $\scriptstyle \mathbf { x } ^ { 2 } - { \frac { \mathbf { y } ^ { 2 } } { \mathtt { m } } } = 1$ ，说明 $\mathsf { m } { \geq } 0$
$\therefore a = 1 , b = { \sqrt { \pi } }$ ，可得 ${ \mathsf { c } } { = } \sqrt { 1 + \pi } .$
$\because$ 离心率 $\mathsf { e } { > } \sqrt { 2 }$ 等价于 $\frac { c } { a } = \frac { \sqrt { 1 + m } } { 1 } > \sqrt { 2 } \Leftrightarrow m > 1$
$\therefore$ 双曲线 $\scriptstyle \mathbf { x } ^ { 2 } - { \frac { \mathbf { y } ^ { 2 } } { \mathtt { m } } } = 1$ 的离心率大于 $\sqrt { 2 }$ 的充分必要条件是 $\mathsf { m } > 1$
故选：C
【点评】本题虽然小巧，用到的知识却是丰富的，具有综合性特点，涉及了双曲线的标准方程、几何性质等几个方面的知识，是这些内容的有机融合，是一个极具考查力的小题