选修 4－1：几何证明选讲 如图， A B 切 O 于点…——2015 高考数学第 22 题答案解析

【答案】（I）证明略，详见解析；（II） 3 ．

【解析】

试题分析：：（I）因为 $D E$ 是 $\odot O$ 的直径，则 $\angle B E D+\angle E D B=90^{\circ}$ ，又 $B C \perp D E$ ，所以 $\angle C B D+\angle E D B=90^{\circ}$ ，又 $A B$ 切 $\odot O$ 于点 $B$ ，得 $\angle D B A=\angle B E D$ ，所以 $\angle C B D=\angle D B A$ ；
（II）由（I）知 $B D$ 平分 $\angle C B A$ ，则 $\frac{B A}{B C}=\frac{A D}{C D}=3$ ，又 $B C=\sqrt{2}$ ，从而 $A B=3 \sqrt{2}$ ，由 $A B^{2}=B C^{2}+A C^{2}$ ，解得 $A C=4$ ，所以 $A D=3$ ，由切割线定理得 $A B^{2}=A D \cdot A E$ ，解得 $A E=6$ ，故 $D E=A E-A D=3$ ，即 $\odot O$ 的直径为 3 。

试题解析：（I）因为 $D E$ 是 $\odot O$ 的直径，
则 $\angle B E D+\angle E D B=90^{\circ}$
又 $B C \perp D E$ ，所以 $\angle C B D+\angle E D B=90^{\circ}$
又 $A B$ 切 $\odot O$ 于点 $B$ ，
得 $\angle D B A=\angle B E D$
所以 $\angle C B D=\angle D B A$
（II）由（I）知 $B D$ 平分 $\angle C B A$ ，
则 $\frac{B A}{B C}=\frac{A D}{C D}=3$ ，
又 $B C=\sqrt{2}$ ，从而 $A B=3 \sqrt{2}$ ，
所以 $A C=\sqrt{A B^{2}-B C^{2}}=4$
所以 $A D=3$ ，

由切割线定理得 $A B^{2}=A D \cdot A E$
即 $A E=\frac{A B^{2}}{A D}=6$ ，
故 $D E=A E-A D=3$ ，
即 $\odot O$ 的直径为 3 ．
【考点定位】1．几何证明；2．切割线定理．
【名师点睛】①近几年高考对本部分的考查主要是围绕圆的性质考查考生的推理能力、逻辑思维能力，试题多是运用定理证明结论，因而圆的性质灵活运用是解题的关键；②在几何题目中出现求长度的问题，通常会使用到相似三角形。全等三角形。切割线定理等基础知识；③本题属于基础题，要求有较高分析推理能力。