（12分）已知圆M：（x+1)^ 2 +y^ 2 =1，圆…——2013 高考数学第 21 题答案解析

【考点】J3：轨迹方程；J9：直线与圆的位置关系．
【专题】5B：直线与圆．
【分析】（I）设动圆的半径为 $R$ ，由已知动圆 $P$ 与圆 $M$ 外切并与圆 $N$ 内切，可得 $\mid P M|+|P N|=R+1+(3-R)=4$ ，而 $| N M \mid=2$ ，由椭圆的定义可知：动点 $P$ 的轨迹是以 $M$ ，$N$ 为焦点， 4 为长轴长的椭圆，求出即可；
（II）设曲线 $C$ 上任意一点 $P(x, y)$ ，由于 $|P M|-|P N|=2 R-2 \leq 4-2=2$ ，所以 $R \leq 2$ ，当且仅当 $\odot \mathrm{P}$ 的圆心为 $(2,0) \mathrm{R}=2$ 时，其半径最大，其方程为 $(\mathrm{x}-2) { }^{2}+y^{2}=4$ 。分①I的倾斜角为 $90^{\circ}$ ，此时I与 $y$ 轴重合，可得 $|A B|$ 。②若I的倾斜角不为 $90^{\circ}$ ，由于 $\odot \mathrm{M}$ 的半径 $1 \neq \mathrm{R}$ ，可知 I x 轴不平行，设 I 与 x 轴的交点为 Q ，根据 $\frac{|Q P|}{|Q M|}=\frac{R}{r_{1}}$ ，可得 $Q(-4,0)$ ，所以可设 $I: y=k(x+4)$ ，与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出．

【解答】解：（I）由圆M：$(x+1)^{2}+y^{2}=1$ ，可知圆心M $(-1,0)$ ；圆 $N$ ：（ $x$ －1）${ }^{2}+y^{2}=9$ ，圆心 $N(1,0)$ ，半径3．

设动圆的半径为 $R$ ，
∵ 动圆 P 与圆 M 外切并与圆 N 内切，$\therefore|\mathrm{PM}|+|\mathrm{PN}|=\mathrm{R}+1+(3-\mathrm{R})=4$ ，
而 $|N M|=2$ ，由椭圆的定义可知：动点 $P$ 的轨迹是以 $M$ ，$N$ 为焦点， 4 为长轴长的椭圆，
$\therefore a=2, \quad c=1, \quad b^{2}=a^{2}-c^{2}=3$ ．
∴ 曲线 C 的方程为 $\frac{\mathrm{x}^{2}}{4}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{3}=1 \quad(\mathrm{x} \neq-2)$ ．
（II）设曲线 C 上任意一点 $\mathrm{P}(\mathrm{x}, \mathrm{y})$ ，
由于 $|P M|-|P N|=2 R-2 \leq 3-1=2$ ，所以 $R \leq 2$ ，当且仅当 $\odot P$ 的圆心为 $(2,0) R=$ 2时，其半径最大，其方程为 $(x-2)^{2}+y^{2}=4$ ．
①I的倾斜角为 $90^{\circ}$ ，则 $I$ 与 $y$ 轴重合，可得 $|A B|=2 \sqrt{3}$ 。
②若I的倾斜角不为 $90^{\circ}$ ，由于 $\odot \mathrm{M}$ 的半径 $1 \neq \mathrm{R}$ ，可知与 x 轴不平行，设 $l$ 与 $x$ 轴的交点为 $Q$ ，则 $\frac{|Q P|}{|Q M|}=\frac{R}{r_{1}}$ ，可得 $Q(-4,0)$ ，所以可设 $l: y=k(x+4)$

由I于 $M$ 相切可得：$\frac{|3 k|}{\sqrt{1+k^{2}}}=1$ ，解得 $k= \pm \frac{\sqrt{2}}{4}$ ．

当 $k=\frac{\sqrt{2}}{4}$ 时，联立 $\left\{\begin{array}{l}y=\frac{\sqrt{2}}{4} x+\sqrt{2} \\ \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1\end{array}\right.$ ，得到 $7 x^{2}+8 x-8=0$ ．
$\therefore \mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}=-\frac{8}{7}, \quad \mathrm{x}_{1} \mathrm{x}_{2}=-\frac{8}{7}$.
$\therefore|A B|=\sqrt{1+k^{2}}\left|x_{2}-x_{1}\right|=\sqrt{1+\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^{2}} \sqrt{\left(-\frac{8}{7}\right)^{2}-4 \times\left(-\frac{8}{7}\right)}=\frac{18}{7}$
由于对称性可知：当 $\mathrm{k}=-\frac{\sqrt{2}}{4}$ 时，也有 $|\mathrm{AB}|=\frac{18}{7}$ ．
综上可知：$|\mathrm{AB}|=2 \sqrt{3}$ 或 $\frac{18}{7}$ 。
【点评】本题综合考查了两圆的相切关系、直线与圆相切问题、椭圆的定义及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式等基础知识，需要较强的推理能力和计算能力及其分类讨论的思想方法。