2009_退役省自主命题 (2009·文)
16．（本小题满分 12 分）
已知向量 $a=(\sin \theta,-2)$ 与 $b=(1, \cos \theta)$ 互相垂直，其中 $\theta=\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ．
（1）求 $\sin \theta$ 和 $\cos \theta$ 的值；
（2）若 $5 \cos (\theta-\varphi)=3 \sqrt{5 \cos \varphi}, 0<\varphi<\frac{\pi}{2}$ ，求 $\cos \varphi$ 的值。
## 17．（本小题满分13分）
某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示。墩的上半部分是正四棱锥 $P-E F G H$ ，下半部分是长方体 $A B C D-E F G H$ 。图5、图6分别是该标识墩的正（主）视图和俯视图。
（1）请画出该安全标识墩的侧（左）视图；
（2）求该安全标识墩的体积；
（3）证明：直线 $B D \perp$ 平面 $P E G$ ．
图4
图5
图6
【解答】
（12分）（2009•广东）已知向量 $\vec{a}=(\sin \theta,-2)$ 与 $\vec{b}=(1, \cos \theta)$ 互相垂直 ，其中 $\theta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ．
（1）求 $\sin \theta$ 和 $\cos \theta$ 的值；
（2）若 $\sin (\theta-\phi)=\frac{\sqrt{10}}{10}, 0<\phi<\frac{\pi}{2}$ ，求 $\cos \phi$ 的值。
【考点】同角三角函数基本关系的运用；平面向量数量积的性质及其运算律．
【专题】三角函数的求值；平面向量及应用．
【分析】（1）根据两向量垂直，求得 $\sin \theta$ 和 $\cos \theta$ 的关系代入 $\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta=1$ 中求得 $\sin \theta$ 和 $\cos \theta$ 的值。
（2）先利用 $\boldsymbol{\phi}$ 和 $\boldsymbol{\theta}$ 的范围确定 $\boldsymbol{\theta}-\boldsymbol{\phi}$ 的范围，进而利用同角三角函数基本关系求得 $\cos (\boldsymbol{\theta}-\boldsymbol{\phi}$的值，进而利用 $\cos \phi=\cos [\theta-(\theta-\varphi)]$ 根据两角和公式求得答案。
【解答】解：（1）$\because \overrightarrow{\mathrm{a}}$ 与 $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ 互相垂直，则 $\overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{b}}=\sin \theta-2 \cos \theta=0$ ，
即 $\sin \theta=2 \cos \theta$ ，代入 $\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta=1$ 得 $\sin \theta= \pm \frac{2 \sqrt{5}}{5}, \cos \theta= \pm \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，又
$\theta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$,
$\therefore \sin \theta=\frac{2 \sqrt{5}}{5}, \quad \cos \theta=\frac{\sqrt{5}}{5}$
②$\because 0<\phi<\frac{\pi}{2}, 0<\theta<\frac{\pi}{2}$ ，
$\therefore-\frac{\pi}{2}<\theta-\phi<\frac{\pi}{2}$ ，则 $\cos (\theta-\phi)=\sqrt{1-\sin ^{2}(\theta-\phi)}=\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ ，
$\therefore \cos \phi=\cos [\theta-(\theta-\phi)]=\cos \theta \cos (\theta-\phi)+\sin \theta \sin (\theta-\phi)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系的应用，两角和的余弦公式，向量的计算等。考查了学生综合分析问题和解决问题的能力。