2011_退役省自主命题 (2011·理)
19．（12分）（2011 • 山东）在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 为平行四边形，$\angle \mathrm{ACB} =90^{\circ}, \mathrm{EA} \perp$ 平面 $\mathrm{ABCD}, \mathrm{EF}\|\mathrm{AB}, \mathrm{FG}\| \mathrm{BC}, \mathrm{EG} \| \mathrm{AC} . \mathrm{AB}=2 \mathrm{EF}$ 。
（I）若 M 是线段 AD 的中点，求证： $\mathrm{GM} \|$ 平面 ABFE ；
（II）若 $\mathrm{AC}=\mathrm{BC}=2 \mathrm{AE}$ ，求二面角 $\mathrm{A}-\mathrm{BF}-\mathrm{C}$ 的大小。
【解答】
（12分）（2011•山东）在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 为平行四边形，$\angle \mathrm{ACB} =90^{\circ}, \mathrm{EA} \perp$ 平面 $\mathrm{ABCD}, \mathrm{EF}\|\mathrm{AB}, \mathrm{FG}\| \mathrm{BC}, \mathrm{EG} \| \mathrm{AC} . \mathrm{AB}=2 \mathrm{EF}$ 。
（I）若 M 是线段 AD 的中点，求证： $\mathrm{GM} \|$ 平面 ABFE ；
（II）若 $\mathrm{AC}=\mathrm{BC}=2 \mathrm{AE}$ ，求二面角 $\mathrm{A}-\mathrm{BF}-\mathrm{C}$ 的大小。
考点：直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．
专题：空间位置关系与距离；空间角；立体几何．
（I）根据所给的一系列平行，得到三角形相似，根据平行四边形的判定和性质，得到线与线平行，根据线与面平行的判定定理，得到线面平行．
（II）根据二面角的求解的过程，先做出，再证明，最后求出来，这样三个环节，先证 $\angle \mathrm{HRC}$ 为二面角的平面角，再设出线段的长度，在直角三角形中求出角的正切值，得到二面角的大小。
解答：
证明：（ I ）$\because \mathrm{EF}\|\mathrm{AB}, \mathrm{FG}\| \mathrm{BC}, \mathrm{EG} \| \mathrm{AC}, \angle \mathrm{ACB}=90^{\circ}$ ，
$\therefore \angle \mathrm{EGF}=90^{\circ}, ~ \triangle \mathrm{ABC} \sim \triangle \mathrm{EFG}$ ，
由于 $\mathrm{AB}=2 \mathrm{EF}$ ，
$\therefore \mathrm{BC}=2 \mathrm{FG}$ ，
连接 AF ，
$\because \mathrm{FG} \| \mathrm{BC}, \mathrm{FG}=\frac{1}{2} \mathrm{BC}$ ，
在 $\square \mathrm{ABCD}$ 中， M 是线段 AD 的中点，
$\therefore \mathrm{AM} \| \mathrm{BC}$ ，且 $\mathrm{AM}=\frac{1}{2} \mathrm{BC}$ ，
$\therefore \mathrm{FG} \| \mathrm{AM}$ 且 $\mathrm{FG}=\mathrm{AM}$ ，
∴ 四边形AFGM为平行四边形，
$\therefore \mathrm{GM} \| \mathrm{FA}$ ，
$\because \mathrm{FA} \subset$ 平面 $\mathrm{ABFE}, \mathrm{GM} \not \subset$ 平面 ABFE ，
$\therefore \mathrm{GM} \|$ 平面 ABFE 。
（II）由题意知，平面 $\mathrm{ABFE} \perp$ 平面 ABCD ，
取 AB 的中点 H ，连接 CH ，
$\because \mathrm{AC}=\mathrm{BC}$ ，
$\therefore \mathrm{CH} \perp \mathrm{AB}$
则 $\mathrm{CH} \perp$ 平面 ABFE ，
过 H 向 BF 引垂线交 BF 于 R ，连接 CR ，
由线面垂直的性质可得 $C R \perp B F$ ，
$\therefore \angle \mathrm{HRC}$ 为二面角的平面角，
由题意，不妨设 $\mathrm{AC}=\mathrm{BC}=2 \mathrm{AE}=2$ ，
在直角梯形 ABFE 中，连接 FH ，
则 $\mathrm{FH} \perp \mathrm{AB}$ ，
又 $\mathrm{AB}=2 \sqrt{2}$ ，
$\therefore \mathrm{HF}=\mathrm{AE}=1, \mathrm{HR}=\frac{S_{\triangle \mathrm{BHF}}}{\frac{1}{2} \times \mathrm{BE}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，由于 $\mathrm{CH}=\frac{1}{2} \mathrm{AB}=\sqrt{2}$ ，
∴ 在直角三角形CHR中， $\tan \angle \mathrm{HRC}=\frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{6}}{3}} \sqrt{3}$ ，
因此二面角 $\mathrm{A}-\mathrm{BF}-\mathrm{C}$ 的大小为 $60^{\circ}$
点评：本题考查线面平行的判定定理，考查二面角的求法，考查求解二面角时的三个环节，本题是一个综合题目，题目的运算量不大。