已知函数 f(x)=|x+a|+|x-2| （1）当 a=…——2012 高考数学第 24 题答案解析

【考点】R5：绝对值不等式的解法．
【专题】17：选作题；59：不等式的解法及应用；5T：不等式．
【分析】（1）不等式等价于 $\left\{\begin{array}{l}x \leqslant 2 \\ 3-x+2-x \geqslant 3\end{array}\right.$ ，或 $\left\{\begin{array}{l}2（2）原命题等价于－2－x $\leq a \leq 2-x$ 在［1，2］上恒成立，由此求得求 $a$ 的取值范围．
【解答】解：（1）当 $a=-3$ 时，$f(x) \geq 3$ 即 $|x-3|+|x-2| \geq 3$ ，即
$\left\{\begin{array}{l}x \leqslant 2 \\ 3-x+2-x \geqslant 3 ;\end{array}\right.$ ，可得 $x \leq 1 ;$
$\left\{\begin{array}{l}2$\left\{\begin{array}{l}x \geqslant 3 \\ x-3+x-2 \geqslant 3\end{array}, \quad\right.$ 可得 $x \geq 4$.
取并集可得不等式的解集为 $\{x \mid x \leq 1$ 或 $x \geq 4\}$ 。
（2）原命题即 $f(x) \leq|x-4|$ 在［1，2］上恒成立，等价于 $|x+a|+2-x \leq 4-x$ 在［1 ，2］上恒成立，

等价于 $|x+a| \leq 2$ ，等价于 $-2 \leq x+a \leq 2,-2-x \leq a \leq 2-x$ 在［1，2］上恒成立．
故当 $1 \leq x \leq 2$ 时，$-2-x$ 的最大值为 $-2-1=-3,2-x$ 的最小值为 0 ，故 a 的取值范围为 $[-3,0]$ ．

【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．