2023_省自主命题（湖北）
14. 如图为某游戏装置原理示意图。水平桌面上固定一半圆形竖直挡板，其半径为 2R、内表面光滑，挡板的两端A、B 在桌面边缘，B 与半径为R 的固定光滑圆弧轨道 $\widehat { C D E }$ 在同一竖直平面内，过C点的轨道半径与竖直方向的夹角为 $6 0 ^ { \circ }$ 。小物块以某一水平初速度由A点切入挡板内侧，从B点飞出桌面后，在C点沿圆弧切线方向进入轨道 $\widehat { C D E }$ 内侧，并恰好能到达轨道的最高点D。小物块与桌面之间的动摩擦因数为 $\frac { 1 } { 2 \pi }$ ，重力加速度大小为g，忽略空气阻力，小物块可视为质点。求：
（1）小物块到达D 点的速度大小；
（2）B和D 两点的高度差；
（3）小物块在A点的初速度大小。
(1) $\sqrt { g R }$; (2) 0; (3) $\sqrt { 3 g R }$
【答案】（1） $\sqrt { g R }$ ；（2）0；（3） $\sqrt { 3 g R }$
【解析】
【详解】（1）由题知，小物块恰好能到达轨道的最高点D，则在D 点有
$$ m \frac {v _ {D} ^ {2}}{R} = m g $$
解得
$$ v _ {D} = \sqrt {g R} $$
> ②由题知，小物块从C点沿圆弧切线方向进入轨道 $\widehat { C D E }$ 内侧，则在C点有
$$ \cos 60^ {\circ} = \frac {v _ {B}}{v _ {C}} $$
小物块从C到D 的过程中，根据动能定理有
$$ - m g (R + R \cos 6 0 ^ {\circ}) = \frac {1}{2} m v _ {D} ^ {2} - \frac {1}{2} m v _ {C} ^ {2} $$
则小物块从B到D 过程中，根据动能定理有的
$$ m g H _ {B D} = \frac {1}{2} m v _ {D} ^ {2} - \frac {1}{2} m v _ {B} ^ {2} $$
联立解得
$$ v _ {B} = \sqrt {g R}, H _ {B D} = 0 $$
（3）小物块从A到B的过程中，根据动能定理有
$$ \begin{array}{c} - \mu m g S = \frac {1}{2} m v _ {B} ^ {2} - \frac {1}{2} m v _ {A} ^ {2} \\ S = \pi \cdot 2 R \end{array} $$
解得
$$ v _ {A} = \sqrt {3 g R} $$
15