如图，直四棱柱 A B C D- A_ 1 B_ 1 C_…——2019 高考数学第 19 题答案解析

【答案】（1）见解析；
（2）$\frac{4 \sqrt{17}}{17}$ ．

## 【解析】

【分析】
（1）利用三角形中位线和 $A_{1} D / / B_{1} C$ 可证得 $M E / / N D$ ，证得四边形 $M N D E$ 为平行四边形，进而证得 $M N / / D E$ ，根据线面平行判定定理可证得结论；

（2）根据题意求得三棱锥 $C_{1}-C D E$ 的体积，再求出 $\Delta C_{1} D E$ 的面积，利用 $V_{C_{1}-C D E}=V_{C-C_{1} D E}$ 求得点 C 到平面 $C_{1} D E$ 的距离，得到结果．

【详解】（1）连接 $M E, B_{1} C$

$\because M, E$ 分别为 $B B_{1}, B C$ 中点 $\therefore M E$ 为 $\triangle B_{1} B C$ 的中位线
$\therefore M E / / B_{1} C$ 且 $M E=\frac{1}{2} B_{1} C$
又 $N$ 为 $A_{1} D$ 中点，且 $A_{1} D / / B_{1} C \quad \therefore N D / / B_{1} C$ 且 $N D=\frac{1}{2} B_{1} C$
$\therefore M E / / N D \therefore$ 四边形 $M N D E$ 为平行四边形
$\therefore M N / / D E$ ，又 $M N \not \subset$ 平面 $C_{1} D E, D E$ 茇平面 $C_{1} D E$
$\therefore M N / /$ 平面 $C_{1} D E$
（2）在菱形 $A B C D$ 中，$E$ 为 $B C$ 中点，所以 $D E \perp B C$ ，
根据题意有 $D E=\sqrt{3}, \quad C_{1} E=\sqrt{17}$ ，

因为棱柱为直棱柱，所以有 $D E \perp$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ，
所以 $D E \perp E C_{1}$ ，所以 $S_{\triangle D E C_{1}}=\frac{1}{2} \times \sqrt{3} \times \sqrt{17}$ ，
设点 C 到平面 $C_{1} D E$ 的距离为 $d$ ，
根据题意有 $V_{C_{1}-C D E}=V_{C-C_{1} D E}$ ，则有 $\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times \sqrt{3} \times \sqrt{17} \times d=\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times 1 \times \sqrt{3} \times 4$ ，
解得 $d=\frac{4}{\sqrt{17}}=\frac{4 \sqrt{17}}{17}$ ，
所以点 C 到平面 $C_{1} D E$ 的距离为 $\frac{4 \sqrt{17}}{17}$ ．

【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，点到平面的距离的求解，在解题的过程中，注意要熟记线面平行的判定定理的内容，注意平行线的寻找思路，再者就是利用等积法求点到平面的距离是文科生常考的内容．