设 A B C 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a…——2012 高考数学第 8 题答案解析

【答案】D
【解析】由正弦定理得： $\sin \mathrm{A}: \sin \mathrm{B}: \sin \mathrm{C}=\mathrm{a}: \mathrm{b}: \mathrm{c}$ ，因为 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的三边的长为连续的三个正整数，且 $\mathrm{A}>\mathrm{B}>\mathrm{C}$ ，所以设 $a=x+2, b=x+1, a=x, x$ 是正整数，所以 $\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}=\frac{(x+1)^{2}+x^{2}-(x+2)^{2}}{2 x(x+1)}=\frac{x-3}{2 x}$ ，又因为 $3 b=20 a \cos A$ ，所以 $3(x+1)=20(x+2) \cdot \frac{x-3}{2 x}$ ，整理得 $7 x^{2}-13 x-60=0$ ，解得 $x=4$ ，所以 $\mathrm{a}: \mathrm{b}: \mathrm{c}=6: 5: 4$ ，即 $\sin \mathrm{A}: \sin \mathrm{B}: \sin \mathrm{C}$ 为 $6: 5: 4$ ，故选 D。

【考点定位】本小题考查余弦定理及解方程等基础知识。解三角形是高考的重点内容之一，年年必考，选择、填空与解答题三种题型均有可能出现，熟练正余弦定理及其变形公式是解决好本类题的关键．