已知双曲线 x ^ 2 4 - y ^ 2 = 1，则过(…——2024 高考数学第 13 题答案解析

【答案】 $\pm \frac { 1 } { 2 }$

【解析】

【分析】首先说明直线斜率存在，然后设出方程，联立双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解.

【详解】联立x =3与 ${ \frac { x ^ { 2 } } { 4 } } - y ^ { 2 } = 1$ ，解得 $y = \pm { \frac { \sqrt { 5 } } { 2 } }$ ，这表明满足题意的直线斜率一定存在，

设所求直线斜率为k，则过点(3,0)且斜率为k的直线方程为 $y = k \left( x - 3 \right)$

联立 $\left\{ { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } } - y ^ { 2 } = 1 \right.$ ，化简并整理得： $\left( 1 - 4 k ^ { 2 } \right) x ^ { 2 } + 2 4 k ^ { 2 } x - 3 6 k ^ { 2 } - 4 = 0$

由题意得 $1 - 4 k ^ { 2 } = 0$ 或 $\Delta = \left( 2 4 k ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + 4 \left( 3 6 k ^ { 2 } + 4 \right) \left( 1 - 4 k ^ { 2 } \right) = 0$

解得 $k = \pm \frac { 1 } { 2 }$ 或无解，即 $k = \pm \frac { 1 } { 2 }$ ，经检验，符合题意.

故答案为： $\pm \frac { 1 } { 2 }$