事件的独立性　·　历年高考数学真题与解析

13．已知事件 $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 相互独立，事件 A 发生的概率为 $P(A)=\frac{1}{2}$ ，事件 B 发生的概率为 $P(B)=\frac{1}{2}$ ，则事件 $A \cap B$ 发生的概率 $P(A \cap B)$ 为（）

18.有一道选择题考查了一个知识点，甲、乙两校各随机抽取100人，甲校有80人答对，乙校有75人答对，用频率估计概率.

(1)从甲校随机抽取1人，求这个人做对该题目的概率.

(2)从甲、乙两校各随机抽取1人，设X为做对的人数，求恰有1人做对的概率以及X的数学期望.

(3)若甲校同学掌握这个知识点则有100%的概率做对该题目，乙校同学掌握这个知识点则有85%的概率做对该题目，未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个，设甲校学生掌握该知识点的概率为 $p _ { 1 }$ ，乙校学生掌握该知识点的概率为 $p _ { 2 }$ ，试比较 $p _ { 1 }$ 与 $p _ { 2 }$ 的大小(结论不要求证明)

12．在信道内传输 0,1 信号，信号的传输相互独立．发送 0 时，收到 1 的概率为 $\alpha(0<\alpha<1)$ ，收到 0 的概率为 $1-\alpha$ ；发送 1 时，收到 0 的概率为 $\beta(0<\beta<1)$ ，收到 1 的概率为 $1-\beta$ ．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输。单次传输是指每个信号只发送 1 次，三次传输是指每个信号重复发送 3 次。收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到 $1,0,1$ ，则译码为 1 ）。

10．某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为 $p_{1}, p_{2}, p_{3}$ ，且 $p_{3}>p_{2}>p_{1}>0$ 。记该棋手连胜两盘的概率为 $p$ ，则

8.

有 6 个相同的球，分别标有数字 $1,2,3,4,5,6$ ，从中有放回的随机取两次，每次取 1 个球，甲表示事件 ＂第一次取出的球的数字是 1 ＂，乙表示事件＂第二次取出的球的数字是 2 ＂，丙表示事件＂两次取出的球的数字之和是 8 ＂，丁表示事件＂两次取出的球的数字之和是 7 ＂，则（ ）

19．甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为 $\frac{1}{2}$ ，
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率．

15．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛

结束）。根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为＂主主客客主客主＂。设甲队主场取胜的概率为 0.6 ，客场取胜的概率为 0.5 ，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 $4: 1$ 获胜的概率是 $\_\_\_\_$。

20．（ 12 分）设每个工作日甲，乙，丙，丁 4 人需使用某种设备的概率分别为 0 ．
$6,0.5,0.5,0.4, ~$ 各人是否需使用设备相互独立．
（I）求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率；
（II）实验室计划购买k台设备供甲，乙，丙，丁使用，若要求＂同一工作日需使用设备的人数大于 k ＂的概率小于 0.1 ，求 k 的最小值．

19．（12分）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在 10 平前，一方连续发球 2 次后，对方再连续发球 2 次，依次轮换。每次发球，胜方得 1 分，负方得 0 分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得 1 分的概率为 0.6 ，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．

（I）求开始第 4 次发球时，甲、乙的比分为 1 比 2 的概率；
（II）$\xi$ 表示开始第 4 次发球时乙的得分，求 $\xi$ 的期望。

20．（12分）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，对方比分在 10 平前，一方连续发球 2 次后，对方再连续发球两次，依次轮换。每次发球，胜方得 1 分，负方得 0 分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得 1 分的概率为 0.6 ，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．
（1）求开始第 4 次发球时，甲、乙的比分为 1 ： 2 的概率；
（2）求开始第 5 次发球时，甲领先得分的概率．

9．有 $n$ 位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是 $p(0<p<1)$ ，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学通过测试的概率为

9．有 $n$ 位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是 $p(0<p<1)$ ，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学通过测试的概率为

18．（12分）（2009•陕西）椐统计，某食品企业一个月内被消费者投诉的次数为 $0,1,2$的概率分别为 $0.4,0.5,0.1$
（I）求该企业在一个月内共被消费者投诉不超过 1 次的概率；
（II）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉 2 次的概率。

20．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为 0.6 ，乙获胜的概率为 0.4 ，各局比赛结果相互独立．已知前 2 局中，甲、乙各胜 1 局．
（I）求再赛 2 局结束这次比赛的概率；
（II）求甲获得这次比赛胜利的概率．

16．（本小题满分 12 分）
甲乙丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约。甲表示只要面试合格就签约，乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约。设每人面试合格的概率都是 $\frac{1}{2}$ ，且面试是否合格互不影响。求：
（I）至少一人面试合格的概率；
（II）没有人签约的概率。

19．（12分）甲、乙两人进行射击比赛，在一轮比赛中，甲、乙各射击一发子弹．根据以往资料知，甲击中 8 环， 9 环， 10 环的概率分别为 $0.6,0.3,0.1$ ，乙击中 8 环， 9 环， 10 环的概率分别为 $0.4,0.4,0.2$ ．

设甲、乙的射击相互独立．
（I）求在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中环数的概率；
（II）求在独立的三轮比赛中，至少有两轮甲击中的环数多于乙击中环数的概率。