（12分）已知抛物线C： y ^ 2 = 4 x 的焦点为…——2010 高考数学第 21 题答案解析

抛物线 $y^2=4x$ 的焦点为 $F(1,0)$。过 $K(-1,0)$ 的直线 $l$ 若与抛物线有两个交点，可设为
$$x=my-1.$$
代入 $y^2=4x$，得
$$y^2-4my+4=0.$$
设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则
$$y_1+y_2=4m,\qquad y_1y_2=4,$$
且 $x_i=\dfrac{y_i^2}{4}$。

（Ⅰ）点 $A$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $D(x_1,-y_1)$。

直线 $BD$ 的斜率
$$k_{BD}=\frac{y_2-(-y_1)}{x_2-x_1} =\frac{y_1+y_2}{\frac14(y_2^2-y_1^2)} =\frac{4}{y_2-y_1}.$$

直线 $BF$ 的斜率
$$k_{BF}=\frac{y_2}{x_2-1} =\frac{y_2}{\frac14y_2^2-1} =\frac{4y_2}{y_2^2-4}.$$
由 $y_1y_2=4$，有
$$y_2^2-4=y_2^2-y_1y_2=y_2(y_2-y_1),$$
所以
$$k_{BF}=\frac{4}{y_2-y_1}=k_{BD}.$$
故 $B,F,D$ 三点共线，即点 $F$ 在直线 $BD$ 上。

（Ⅱ）由 $x_i=my_i-1$，得
$$\overrightarrow{FA}=(x_1-1,y_1)=(my_1-2,y_1),$$
$$\overrightarrow{FB}=(x_2-1,y_2)=(my_2-2,y_2).$$
因此
$$\overrightarrow{FA}\cdot\overrightarrow{FB} =(my_1-2)(my_2-2)+y_1y_2.$$
代入 $y_1+y_2=4m$，$y_1y_2=4$，得
$$\overrightarrow{FA}\cdot\overrightarrow{FB} =4m^2-8m^2+4+4=8-4m^2.$$
由题意
$$8-4m^2=\frac89,$$
解得
$$m^2=\frac{16}{9}.$$

于是
$$|y_2-y_1|=\sqrt{(y_1+y_2)^2-4y_1y_2} =\sqrt{16m^2-16} =\frac{4\sqrt7}{3}.$$
由（Ⅰ）知直线 $BD$ 经过 $F(1,0)$，且其斜率的绝对值为
$$\frac{4}{|y_2-y_1|}=\frac{3}{\sqrt7}.$$
所以直线 $BD$ 可写成
$$3x\pm\sqrt7\,y-3=0.$$

又 $KB$ 为直线 $l$，即
$$x-my+1=0.$$
因为 $D(x_1,-y_1)$ 满足 $x_1+my_D+1=0$，所以 $KD$ 为
$$x+my+1=0.$$
两条直线关于 $x$ 轴对称，故 $\triangle BDK$ 在 $K$ 处的内角平分线为 $x$ 轴，内切圆圆心可设为 $M(a,0)$。

由 $F$ 在边 $BD$ 上，且 $K=(-1,0)$，内切圆圆心在三角形内部，所以 $-1<a<1$。

点 $M(a,0)$ 到 $KB$ 的距离为
$$d_1=\frac{|a+1|}{\sqrt{m^2+1}}.$$
由 $m^2=\dfrac{16}{9}$，得
$$d_1=\frac{3|a+1|}{5}.$$

点 $M(a,0)$ 到 $BD$ 的距离为
$$d_2=\frac{|3a-3|}{\sqrt{9+7}}=\frac{3|a-1|}{4}.$$

内切圆到两边距离相等，故
$$\frac{3|a+1|}{5}=\frac{3|a-1|}{4}.$$
结合 $-1<a<1$，得
$$4(a+1)=5(1-a),$$
解得
$$a=\frac19.$$
半径
$$r=d_1=\frac{3\left(\frac19+1\right)}{5}=\frac23.$$

所以内切圆 $M$ 的方程为
$$\left(x-\frac19\right)^2+y^2=\frac49.$$