（本小题满分 12 分） 如图， A B C 和 B C…——2014 高考数学第 19 题答案解析

（1）证明：
由题意，平面 $ABC \perp$ 平面 $DBC$，交线为 $BC$。
在平面 $DBC$ 内过点 $B$ 作 $Bx \perp BC$，在平面 $ABC$ 内过点 $B$ 作 $Bz \perp BC$。
由面面垂直的性质定理可知，$Bz \perp$ 平面 $DBC$，故 $Bz \perp Bx$。
以 $B$ 为坐标原点，分别以 $Bx, BC, Bz$ 所在直线为 $x, y, z$ 轴建立空间直角坐标系。

由 $AB=BC=BD=2, \angle ABC=\angle DBC=120^{\circ}$，可得各点坐标如下：
$B(0,0,0), C(0,2,0)$。
对于点 $A$，在 $yOz$ 平面内，$y_A = 2\cos 120^{\circ} = -1, z_A = 2\sin 120^{\circ} = \sqrt{3}$，即 $A(0, -1, \sqrt{3})$。
对于点 $D$，在 $xOy$ 平面内，$x_D = 2\sin 120^{\circ} = \sqrt{3}, y_D = 2\cos 120^{\circ} = -1$，即 $D(\sqrt{3}, -1, 0)$。

因为 $E, F$ 分别为 $AC, DC$ 的中点，由中点坐标公式得：
$E\left(0, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right), F\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)$。

所以 $\overrightarrow{EF} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$，$\overrightarrow{BC} = (0, 2, 0)$。
因为 $\overrightarrow{EF} \cdot \overrightarrow{BC} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 0 + 0 \times 2 + \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \times 0 = 0$，
所以 $EF \perp BC$。

（2）解：
平面 $BFC$ 即为平面 $DBC$（$xOy$ 平面），其一个法向量为 $\vec{n_1} = (0, 0, 1)$。

设平面 $BEF$ 的法向量为 $\vec{n_2} = (x, y, z)$。
$\overrightarrow{BE} = \left(0, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right), \overrightarrow{BF} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)$。
由 $\begin{cases} \vec{n_2} \cdot \overrightarrow{BE} = 0 \\ \vec{n_2} \cdot \overrightarrow{BF} = 0 \end{cases}$，得 $\begin{cases} \frac{1}{2}y + \frac{\sqrt{3}}{2}z = 0 \\ \frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2}y = 0 \end{cases}$。
化简得 $\begin{cases} y = -\sqrt{3}z \\ y = -\sqrt{3}x \end{cases}$。
令 $x=1$，则 $y=-\sqrt{3}, z=1$，所以 $\vec{n_2} = (1, -\sqrt{3}, 1)$。

设二面角 $E-BF-C$ 的大小为 $\theta$，由图可知 $\theta$ 为锐角。
$\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} = \frac{|0 \times 1 + 0 \times (-\sqrt{3}) + 1 \times 1|}{1 \times \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2 + 1^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$。
所以 $\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - \frac{1}{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$。
即二面角 $E-BF-C$ 的正弦值为 $\frac{2\sqrt{5}}{5}$。