数形结合高考真题解析

15.设c∈R，函数 $f ( x ) = | x ^ { 2 } - \cos x - c ^ { 2 } |$ 。给出下列四个论断：

①f(x)在(-1,1]上既有最小值又有最大值；

②当c=0时， $f ( x ) = 1$ 有3个解；

③当 $c = 1 , x \in ( 1 , 2 ]$ 时，f(x)有最大值；

④当 $c > 0$ 时，f(x)与y=c有4个交点。

其中正确论断的序号是

1. 已知全集 $U=\{-2,-1,0,1,2,3\}$，集合 $A=\{-1,0,1,3\}$，集合 $B=\{-2,0,1\}$，则 $(\complement_U A)\cup B=(\quad)$

3.调查候鸟和温度的关系，在不同温度下统计候鸟的数量，所得数据如图所示，其中相关系数r=0.91,根据最小二乘法算得 $\hat { y } = - 1 . 1 7 x + 1 3 7 0 . 7$ ，下列说法正确的是()

A. y 与 x 呈负相关B. 当x=10时，y一定为1359C. 当x=10时，y一定小于1359D. 两变量无线性回归关系

9． 已知 $\odot O: x^{2}+y^{2}=1, \odot A: x^{2}+y^{2}-6 x-8 y+k=0$ ，则

5. 函数 $y = \cos x$ 在 $[ - \frac { \pi } { 2 } , \frac { \pi } { 4 } ]$ 上的值域为\_

10. 已知复数z满足 $z ^ { 2 } = ( \bar { z } ) ^ { 2 } , | z | \leqslant 1$ ,则 $\left| z - 2 - 3 \mathrm { i } \right|$ 的最小值是

11.小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上．某斜面上有两根长为1米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为A、B，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光：其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为0.45米．则斜面的底角θ=$\_$．(结果用角度制表示，精确到0.01°)

17.2024年东京奥运会，中国获得了男子 $4 \times 1 0 0$ 米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子 $4 \times 1 0 0$ 米混合泳接力项目冠军成绩记录(单位：秒)，数据按照升序排列.

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1>206.78</td><td rowspan=1 colspan=1>207.46</td><td rowspan=1 colspan=1>207.95</td><td rowspan=1 colspan=1>209.34</td><td rowspan=1 colspan=1>209.35</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>210.68</td><td rowspan=1 colspan=1>213.73</td><td rowspan=1 colspan=1>214.84</td><td rowspan=1 colspan=1>216.93</td><td rowspan=1 colspan=1>216.93</td></tr></table>

(1)求这组数据的极差与中位数；

(2)从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率；

(3)若比赛成绩y关于年份x的回归方程为 ${ \boldsymbol { y } } = - 0 . 3 1 1 { \boldsymbol { x } } + { \boldsymbol { \hat { b } } }$ ,年份x的平均数为2006，预测2028年冠军队的成绩(精确到0.01秒).

3. 已知函数 $y = f ( x )$ 的图象如下，则f(x)的解析式可能为 （）

12. $l _ { 1 } : x - y + 6 = 0$ ，与x轴交于点A，与y轴交于点B，与 $( x + 1 ) ^ { 2 } + ( y - 3 ) ^ { 2 } = r ^ { 2 }$ 交于C、D两点， $| A B | =$ $3 | C D |$ ,则r=

3. A = {−4,0,1,2,8} $B = \{ x \mid x ^ { 3 } = x \}$ , A∩B= ( )

6. 抛物线 $C : y ^ { 2 } = 2 p x ( p > 0 )$ 焦点F， $A \in C$ ，过A作C准线的垂线，垂足为B.若 $l _ { B F } : y = - 2 x + 2$ ，则|AF|=（）

11. 双曲线 $C : \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > 0 , b > 0 )$ 左右焦点为 $F _ { 1 }$ ， $F _ { 2 }$ ，左右顶点为 $A _ { 1 }$ ， $A _ { 2 }$ .以 $F _ { 1 } F _ { 2 }$ 为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N，且 $\angle N A _ { 1 } M = \frac { 5 \pi } { 6 }$ ，则（）

14. 一个底面半径为 $4 c m$ ，高为9cm的封闭圆柱形容器内有两个半径相等的铁球.则铁球半径的最大值为 cm

1．已知集合 $M=\{x \mid-4<x \leq 1\}, N=\{x \mid-1<x<3\}$ ，则 $M \cup N=$

8．已知以边长为 4 的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为 $4,4,2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2}$ ，则该四棱锥的高为（）

9．已知 $\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)$ 是函数 $y=2^{x}$ 图象上不同的两点，则下列正确的是（）

10．若集合 $\left\{(x, y) \mid y=x+t\left(x^{2}-x\right), 0 \leq t \leq 1,1 \leq x \leq 2\right\}$ 表示的图形中，两点间最大距离为 $d$ 、面积为 $S$ ，则（ ）

12．已知 $\alpha \in\left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right]$ ，且 $\alpha$ 与 $\beta$ 的终边关于原点对称，则 $\cos \beta$ 的最大值为 $\_\_\_\_$ ．

3. 若实数 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{ \begin{array}{l} 4x - 3y - 3 \geq 0 \\ x - 2y - 2 \leq 0 \\ 2x + 6y - 9 \leq 0 \end{array} \right.$ ，则 $z = x - 5y$ 的最小值为（ ）

6. 已知双曲线 $C : \frac { y ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { x ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > 0 , b > 0 )$ 的上、下焦点分别为 $F _ { 1 } ( 0 , 4 ) , F _ { 2 } ( 0 , - 4 )$ ，点 $P \left( - 6 , 4 \right)$ 在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）

12. 函数 $f \left( x \right) = \sin x - \sqrt { 3 } \cos x$ 在 $\left[ 0 , \pi \right]$ 上的最大值是

3．若实数 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}4 x-3 y-3 \geq 0 \\ x-2 y-2 \leq 0 \\ 2 x+6 y-9 \leq 0\end{array}\right.$ ，则 $z=x-5 y$ 的最小值为

5．已知双曲线 $C: \frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的上、下焦点分别为 $F_{1}(0,4), F_{2}(0,-4)$ ，点 $P(-6,4)$ 在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）

7．函数 $f(x)=-x^{2}+\left(\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}\right) \sin x$ 在区间 $[-2.8,2.8]$ 的大致图像为（ ）

3．若实数 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}4 x-3 y-3 \geq 0 \\ x-2 y-2 \leq 0 \\ 2 x+6 y-9 \leq 0\end{array}\right.$, 则 $z=x-5 y$ 的最小值为（ ）

7．曲线 $f(x)=x^{6}+3 x-1$ 在 $(0,-1)$ 处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）

8．函数 $f(x)=-x^{2}+\left(\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}\right) \sin x$ 在区间 $[-2.8,2.8]$ 的大致图像为（ ）

12．函数 $f(x)=\sin x-\sqrt{3} \cos x$ 在 $[0, \pi]$ 上的最大值是

18．设椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的右焦点为 $F$ ，点 $M\left(1, \frac{3}{2}\right)$ 在 $C$ 上，且 $M F \perp x$ 轴．
（1）求 $C$ 的方程；
（2）过点 $P(4,0)$ 的直线与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，$N$ 为线段 $F P$ 的中点，直线 $N B$ 交直线 $M F$ 于点 $Q$ ，证明：$A Q \perp y$ 轴．

19．在平面直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点 $O$ 为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $\rho=\rho \cos \theta+1$ ．
（1）写出 $C$ 的直角坐标方程；

②设直线 $l:\left\{\begin{array}{l}x=t \\ y=t+a\end{array}\right.$（ $t$ 为参数），若 $C$ 与 $l$ 相交于 $A , B$ 两点，若 $|A B|=2$ ，求 $a$ 的值．

8．双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} , F_{2} \cdot P$ 是双曲线右支上一点，且直线 $P F_{2}$ 的斜率为 2．$\triangle P F_{1} F_{2}$ 是面积为 8 的直角三角形，则双曲线的方程为（）

15．若函数 $f(x)=2 \sqrt{x^{2}-a x}-|a x-2|+1$ 有唯一零点，则 $a$ 的取值范围为

7．当 $x \hat{\mathbf{1}}[0,2 \pi]$ 时，曲线 $y=\sin x$ 与 $y=2 \sin \left(3 x-\frac{\pi}{6}\right)$ 的交点个数为（ ）

9．为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 $\bar{x}=2.1$ ，样本方差 $s^{2}=0.01$ ，已知该种植区以往的亩收入 $X$ 服从正态分布 $N\left(1.8,0.1^{2}\right)$ ，假设推动出口后的亩收入 $Y$ 服从正态分布 $N\left(\bar{x}, s^{2}\right)$ ，则（ ）（若随机变量 $Z$ 服从正态分布 $N\left(u, \sigma^{2}\right)$ ， $P(Z<u+\sigma) \approx 0.8413)$

11．造型 $\boldsymbol{\chi}$ 可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线 $\boldsymbol{C}$ 的一部分。已知 $\boldsymbol{C}$ 过坐标原点 $\boldsymbol{O}$ ．且 $\boldsymbol{C}$ 上的点满足横坐标大于 -2 ，到点 $F(2,0)$ 的距离与到定直线 $x=a(a<0)$ 的距离之积为 4 ，则（ ）

6．设函数 $f(x)=a(x+1)^{2}-1, g(x)=\cos x+2 a x$ ，当 $x \in(-1,1)$ 时，曲线 $y=f(x)$ 与 $y=g(x)$ 恰有一个交点，则 $a=$（ ）

10．抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 的准线为 $l, P$ 为 $C$ 上的动点，过 $P$ 作 $\odot A: x^{2}+(y-4)^{2}=1$ 的一条切线，$Q$ 为切点，过 $P$ 作 $l$ 的垂线，垂足为 $B$ ，则（ ）

11．设函数 $f(x)=2 x^{3}-3 a x^{2}+1$ ，则 ()

17．如图，平面四边形 $A B C D$ 中，$A B=8, C D=3, A D=5 \sqrt{3}, \angle A D C=90^{\circ}, \angle B A D=30^{\circ}$ ，点 $E$ ， $F$ 满足 $\overrightarrow{A E}=\frac{2}{5} \overrightarrow{A D}, \overrightarrow{A F}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}$ ，将 $\triangle A E F$ 沿 $E F$ 对折至！$P E F$ ，使得 $P C=4 \sqrt{3}$ ．

（1）证明：$E F \perp P D$ ；
（2）求面 $P C D$ 与面 $P B F$ 所成的二面角的正弦值．