（5分）求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上——2009 高考数学第 16 题答案解析

设菱形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$，四边 $AB, BC, CD, DA$ 的中点分别为 $M, N, P, Q$。

由菱形的性质可知：
1. 对角线互相垂直，即 $AC \perp BD$，故 $\triangle AOB, \triangle BOC, \triangle COD, \triangle DOA$ 均为直角三角形，且直角顶点均为 $O$。
2. 四条边长度相等，即 $AB = BC = CD = DA$。

在 Rt$\triangle AOB$ 中，$M$ 为斜边 $AB$ 的中点，根据直角三角形斜边中线定理，有：
$$ OM = \frac{1}{2} AB $$

同理，在 Rt$\triangle BOC$、Rt$\triangle COD$、Rt$\triangle DOA$ 中，$N, P, Q$ 分别为斜边中点，可得：
$$ ON = \frac{1}{2} BC, \quad OP = \frac{1}{2} CD, \quad OQ = \frac{1}{2} DA $$

因为 $AB = BC = CD = DA$，所以：
$$ OM = ON = OP = OQ $$

这表明点 $M, N, P, Q$ 到点 $O$ 的距离相等。因此，这四个点在以对角线交点 $O$ 为圆心，以 $\frac{1}{2}AB$ 长为半径的同一个圆上。