设椭圆 C: x^ 2 a^ 2 + y^ 2 b^ 2…——2024 高考数学第 20 题答案解析

（1）由 $M\left(1, \frac{3}{2}\right)$ 在椭圆 $C$ 上，且 $MF \perp x$ 轴，可知右焦点 $F$ 的横坐标为 $1$，即半焦距 $c=1$。
因为 $MF \perp x$ 轴，所以点 $M$ 的横坐标即为 $c$，纵坐标的绝对值为通径的一半 $\frac{b^2}{a}$。
故 $\frac{b^2}{a} = \frac{3}{2}$。
又 $a^2 = b^2 + c^2 = b^2 + 1$，即 $b^2 = a^2 - 1$。
代入得 $\frac{a^2 - 1}{a} = \frac{3}{2}$，整理得 $2a^2 - 3a - 2 = 0$。
解得 $a=2$ 或 $a=-\frac{1}{2}$（舍去）。
所以 $a=2$，则 $b^2 = 2^2 - 1 = 3$。
故椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$。

（2）由（1）知 $F(1,0)$，又 $P(4,0)$，则线段 $FP$ 的中点 $N$ 的坐标为 $\left(\frac{1+4}{2}, 0\right) = \left(\frac{5}{2}, 0\right)$。
直线 $MF$ 的方程为 $x=1$。
设直线 $AB$ 的方程为 $y=k(x-4)$（若斜率不存在，直线为 $x=4$，与椭圆无交点，故斜率必存在）。
设 $A(x_1, y_1)$，$B(x_2, y_2)$。
联立直线与椭圆方程：
$$ \begin{cases} y = k(x-4) \\ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1 \end{cases} $$
消去 $y$ 得 $3x^2 + 4k^2(x-4)^2 = 12$，
整理得 $(3+4k^2)x^2 - 32k^2x + 64k^2 - 12 = 0$。
由 $\Delta > 0$ 可得 $k$ 的取值范围（此处略，保证有两个交点即可）。
根据韦达定理：
$$ x_1 + x_2 = \frac{32k^2}{3+4k^2}, \quad x_1 x_2 = \frac{64k^2 - 12}{3+4k^2} $$
直线 $NB$ 过点 $N\left(\frac{5}{2}, 0\right)$ 和 $B(x_2, y_2)$，其方程为：
$$ y = \frac{y_2}{x_2 - \frac{5}{2}} \left(x - \frac{5}{2}\right) $$
令 $x=1$，求点 $Q$ 的纵坐标 $y_Q$：
$$ y_Q = \frac{y_2}{x_2 - \frac{5}{2}} \left(1 - \frac{5}{2}\right) = \frac{y_2}{\frac{2x_2 - 5}{2}} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{-3y_2}{2x_2 - 5} $$
要证明 $AQ \perp y$ 轴，只需证明 $y_A = y_Q$，即 $y_1 = y_Q$。
考察 $y_1 - y_Q$：
$$ y_1 - y_Q = y_1 + \frac{3y_2}{2x_2 - 5} = \frac{y_1(2x_2 - 5) + 3y_2}{2x_2 - 5} $$
将 $y_1 = k(x_1 - 4)$，$y_2 = k(x_2 - 4)$ 代入分子：
$$ \begin{aligned} \text{分子} &= k(x_1 - 4)(2x_2 - 5) + 3k(x_2 - 4) \\ &= k [ 2x_1 x_2 - 5x_1 - 8x_2 + 20 + 3x_2 - 12 ] \\ &= k [ 2x_1 x_2 - 5x_1 - 5x_2 + 8 ] \\ &= k [ 2x_1 x_2 - 5(x_1 + x_2) + 8 ] \end{aligned} $$
代入韦达定理的结果：
$$ \begin{aligned} 2x_1 x_2 - 5(x_1 + x_2) + 8 &= 2 \cdot \frac{64k^2 - 12}{3+4k^2} - 5 \cdot \frac{32k^2}{3+4k^2} + 8 \\ &= \frac{128k^2 - 24 - 160k^2 + 8(3+4k^2)}{3+4k^2} \\ &= \frac{128k^2 - 24 - 160k^2 + 24 + 32k^2}{3+4k^2} \\ &= \frac{(128 - 160 + 32)k^2 + (-24 + 24)}{3+4k^2} \\ &= 0 \end{aligned} $$
所以 $y_1 - y_Q = 0$，即 $y_1 = y_Q$。
故 $A, Q$ 两点纵坐标相等，$AQ \parallel x$ 轴，即 $AQ \perp y$ 轴。