已知 tan α=- 1 3 , cos β= 5 5 ,…——2008 高考数学第 17 题答案解析

（1）由 $\cos \beta=\frac{\sqrt{5}}{5}$ 且 $\beta \in(0, \pi)$，可知 $\beta$ 为锐角。
根据同角三角函数关系，$\sin \beta = \sqrt{1-\cos^2 \beta} = \sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)^2} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$。
所以 $\tan \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = 2$。

已知 $\tan \alpha = -\frac{1}{3}$，利用两角和的正切公式：
$$ \tan (\alpha+\beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} = \frac{-\frac{1}{3} + 2}{1 - \left(-\frac{1}{3}\right) \times 2} = \frac{\frac{5}{3}}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{\frac{5}{3}}{\frac{5}{3}} = 1 $$

（2）由 $\tan \alpha = -\frac{1}{3}$ 且 $\alpha \in(0, \pi)$，可知 $\alpha$ 为钝角（第二象限角）。
故 $\sin \alpha > 0, \cos \alpha < 0$。
由 $\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = -\frac{1}{3}$ 及 $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$，解得：
$\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$，$\cos \alpha = -\frac{3}{\sqrt{10}} = -\frac{3\sqrt{10}}{10}$。

将 $f(x)$ 展开化简：
$$ \begin{aligned} f(x) &= \sqrt{2} \sin (x-\alpha)+\cos (x+\beta) \\ &= \sqrt{2}(\sin x \cos \alpha - \cos x \sin \alpha) + (\cos x \cos \beta - \sin x \sin \beta) \end{aligned} $$
代入数值：
$\sqrt{2} \cos \alpha = \sqrt{2} \cdot \left(-\frac{3}{\sqrt{10}}\right) = -\frac{3}{\sqrt{5}} = -\frac{3\sqrt{5}}{5}$
$\sqrt{2} \sin \alpha = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$
$\cos \beta = \frac{\sqrt{5}}{5}$
$\sin \beta = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

整理 $f(x)$ 中 $\sin x$ 和 $\cos x$ 的系数：
$\sin x$ 的系数：$\sqrt{2}\cos \alpha - \sin \beta = -\frac{3\sqrt{5}}{5} - \frac{2\sqrt{5}}{5} = -\sqrt{5}$
$\cos x$ 的系数：$-\sqrt{2}\sin \alpha + \cos \beta = -\frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{\sqrt{5}}{5} = 0$

所以 $f(x) = -\sqrt{5} \sin x$。
因为 $-1 \le \sin x \le 1$，所以 $f(x)$ 的最大值为 $\sqrt{5}$。