（10分） A B C ^ 中，D为边BC上的一点，BD=…——2010 高考数学第 17 题答案解析

由 $\cos \angle ADC = \frac{3}{5} > 0$，可知 $\angle ADC$ 为锐角，故 $\sin \angle ADC = \sqrt{1 - \cos^2 \angle ADC} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \frac{4}{5}$。

在 $\triangle ABC$ 中，$\sin B = \frac{5}{13}$。因为 $\angle ADC$ 是 $\triangle ABD$ 的外角，所以 $\angle ADC = B + \angle BAD$，即 $\angle BAD = \angle ADC - B$。
由于 $\sin \angle ADC = \frac{4}{5} > \frac{5}{13} = \sin B$，且 $\angle ADC$ 为锐角，结合图形几何关系可知 $B < \angle ADC < \frac{\pi}{2}$，因此 $B$ 也为锐角。
所以 $\cos B = \sqrt{1 - \sin^2 B} = \sqrt{1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2} = \frac{12}{13}$。

利用两角差的正弦公式计算 $\sin \angle BAD$：
$$ \begin{aligned} \sin \angle BAD &= \sin(\angle ADC - B) \\ &= \sin \angle ADC \cos B - \cos \angle ADC \sin B \\ &= \frac{4}{5} \times \frac{12}{13} - \frac{3}{5} \times \frac{5}{13} \\ &= \frac{48}{65} - \frac{15}{65} \\ &= \frac{33}{65} \end{aligned} $$

在 $\triangle ABD$ 中，由正弦定理 $\frac{AD}{\sin B} = \frac{BD}{\sin \angle BAD}$，得：
$$ AD = \frac{BD \cdot \sin B}{\sin \angle BAD} = \frac{33 \times \frac{5}{13}}{\frac{33}{65}} = \frac{33 \times 5}{13} \times \frac{65}{33} = \frac{5 \times 65}{13} = 5 \times 5 = 25 $$