若 O _ 1 : x ^ 2 + y ^ 2 = 5 与…——2009 高考数学第 14 题答案解析

圆 $O_1: x^2 + y^2 = 5$ 的圆心为 $O_1(0,0)$，半径 $r_1 = \sqrt{5}$。
圆 $O_2: (x-m)^2 + y^2 = 20$ 的圆心为 $O_2(m,0)$，半径 $r_2 = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$。

两圆在交点 $A$ 处的切线互相垂直。根据圆的几何性质，圆在某点的切线垂直于过该点的半径。因此，若两切线垂直，则对应的两条半径 $O_1A$ 与 $O_2A$ 也互相垂直，即 $\triangle O_1 A O_2$ 是以 $A$ 为直角顶点的直角三角形。

在 Rt$\triangle O_1 A O_2$ 中，由勾股定理可得两圆圆心距的平方：
$$|O_1 O_2|^2 = |O_1 A|^2 + |O_2 A|^2 = r_1^2 + r_2^2$$
代入数据：
$$m^2 = (\sqrt{5})^2 + (2\sqrt{5})^2 = 5 + 20 = 25$$
解得 $|m| = 5$，即圆心距 $d = |O_1 O_2| = 5$。

线段 $AB$ 是两圆的公共弦。在 $\triangle O_1 A O_2$ 中，$AB$ 垂直平分连心线 $O_1 O_2$ 吗？不，公共弦 $AB$ 垂直于连心线 $O_1 O_2$，设垂足为 $H$，则 $AB = 2 AH$。
利用面积法或射影定理求斜边上的高 $AH$（即点 $A$ 到 $O_1 O_2$ 的距离）：
$$S_{\triangle O_1 A O_2} = \frac{1}{2} |O_1 A| \cdot |O_2 A| = \frac{1}{2} |O_1 O_2| \cdot AH$$
$$AH = \frac{|O_1 A| \cdot |O_2 A|}{|O_1 O_2|} = \frac{\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5}}{5} = \frac{10}{5} = 2$$

所以，公共弦长 $|AB| = 2 AH = 2 \times 2 = 4$。