如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD…——2020 高考数学第 20 题答案解析

（1）证明：
因为底面 $ABCD$ 为正方形，所以 $AD // BC$。
又因为 $AD \not\subset$ 平面 $PBC$，$BC \subset$ 平面 $PBC$，
所以 $AD //$ 平面 $PBC$。
因为 $AD \subset$ 平面 $PAD$，且平面 $PAD \cap$ 平面 $PBC = l$，
根据线面平行的性质定理，可得 $AD // l$。

因为 $PD \perp$ 底面 $ABCD$，$AD \subset$ 底面 $ABCD$，
所以 $PD \perp AD$。
又因为底面 $ABCD$ 是正方形，所以 $CD \perp AD$。
因为 $PD \cap CD = D$，$PD, CD \subset$ 平面 $PDC$，
所以 $AD \perp$ 平面 $PDC$。
因为 $l // AD$，
所以 $l \perp$ 平面 $PDC$。

（2）解：
如图，以 $D$ 为原点，分别以 $\overrightarrow{DA}, \overrightarrow{DC}, \overrightarrow{DP}$ 的方向为 $x, y, z$ 轴的正方向建立空间直角坐标系 $D-xyz$。
由题意知 $PD=AD=1$，则各点坐标为：
$D(0,0,0)$，$A(1,0,0)$，$C(0,1,0)$，$B(1,1,0)$，$P(0,0,1)$。

由（1）知 $l // AD$，且 $l$ 过点 $P$（因为 $P$ 在平面 $PAD$ 和平面 $PBC$ 的交线上），
所以直线 $l$ 平行于 $x$ 轴且经过点 $P(0,0,1)$。
设 $Q$ 为 $l$ 上一点，其坐标可设为 $Q(m, 0, 1)$，其中 $m \in \mathbb{R}$。

我们需要求直线 $PB$ 与平面 $QCD$ 所成角的正弦值的最大值。
首先求平面 $QCD$ 的法向量。
$\overrightarrow{DC} = (0, 1, 0)$，$\overrightarrow{DQ} = (m, 0, 1)$。
设平面 $QCD$ 的法向量为 $\vec{n} = (x, y, z)$，则：
$\begin{cases} \vec{n} \cdot \overrightarrow{DC} = 0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{DQ} = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = 0 \\ mx + z = 0 \end{cases}$
令 $x = 1$，则 $z = -m$，故可取法向量 $\vec{n} = (1, 0, -m)$。

直线 $PB$ 的方向向量为 $\overrightarrow{PB} = (1-0, 1-0, 0-1) = (1, 1, -1)$。
设直线 $PB$ 与平面 $QCD$ 所成的角为 $\theta$，则 $\sin \theta = |\cos \langle \vec{n}, \overrightarrow{PB} \rangle|$。
$$ \sin \theta = \frac{|\vec{n} \cdot \overrightarrow{PB}|}{|\vec{n}| |\overrightarrow{PB}|} = \frac{|1 \times 1 + 0 \times 1 + (-m) \times (-1)|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + (-m)^2} \cdot \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2}} $$
$$ \sin \theta = \frac{|1 + m|}{\sqrt{m^2 + 1} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \sqrt{\frac{(1+m)^2}{m^2+1}} $$
$$ \sin \theta = \frac{1}{\sqrt{3}} \sqrt{\frac{m^2 + 2m + 1}{m^2 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \sqrt{1 + \frac{2m}{m^2 + 1}} $$

要使 $\sin \theta$ 最大，需使 $f(m) = \frac{2m}{m^2 + 1}$ 最大。
当 $m > 0$ 时，由基本不等式 $m^2 + 1 \ge 2m$，得 $\frac{2m}{m^2 + 1} \le 1$，当且仅当 $m=1$ 时取等号。
当 $m \le 0$ 时，$\frac{2m}{m^2 + 1} \le 0 < 1$。
所以 $\frac{2m}{m^2 + 1}$ 的最大值为 $1$。

故 $\sin \theta$ 的最大值为：
$$ (\sin \theta)_{\max} = \frac{1}{\sqrt{3}} \sqrt{1 + 1} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3} $$
即直线 $PB$ 与平面 $QCD$ 所成角的正弦值的最大值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$。