（本小题满分12分） DABC中，角A，B，C所对的边分别…——2014 高考数学第 17 题答案解析

（I）在 $\Delta ABC$ 中，已知 $\cos A = \frac{\sqrt{6}}{3}$。
因为 $A \in (0, \pi)$，所以 $\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{3}{9}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$。

由已知 $B = A + \frac{\pi}{2}$，可得：
$$ \sin B = \sin\left(A + \frac{\pi}{2}\right) = \cos A = \frac{\sqrt{6}}{3} $$

根据正弦定理 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$，代入 $a=3$ 及上述正弦值：
$$ b = \frac{a \sin B}{\sin A} = \frac{3 \times \frac{\sqrt{6}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \sqrt{6} \times \sqrt{3} = 3\sqrt{2} $$

（II）由余弦定理 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$，代入已知数据：
$$ 3^2 = (3\sqrt{2})^2 + c^2 - 2 \times 3\sqrt{2} \times c \times \frac{\sqrt{6}}{3} $$
$$ 9 = 18 + c^2 - 2\sqrt{2}c \cdot \sqrt{6} $$
$$ 9 = 18 + c^2 - 4\sqrt{3}c $$
整理得关于 $c$ 的一元二次方程：
$$ c^2 - 4\sqrt{3}c + 9 = 0 $$
解此方程：
$$ c = \frac{4\sqrt{3} \pm \sqrt{(4\sqrt{3})^2 - 4 \times 9}}{2} = \frac{4\sqrt{3} \pm \sqrt{48 - 36}}{2} = \frac{4\sqrt{3} \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4\sqrt{3} \pm 2\sqrt{3}}{2} $$
解得 $c_1 = 3\sqrt{3}$ 或 $c_2 = \sqrt{3}$。

接下来判断 $c$ 的取值：
由 $B = A + \frac{\pi}{2}$ 可知 $B > \frac{\pi}{2}$，即 $B$ 为钝角。
在三角形中，大角对大边，故 $b$ 应为最大边，即需满足 $b > c$。
已知 $b = 3\sqrt{2} = \sqrt{18}$。
若 $c = 3\sqrt{3} = \sqrt{27}$，则 $c > b$，不合题意，舍去；
若 $c = \sqrt{3} = \sqrt{3}$，则 $c < b$，符合题意。
故 $c = \sqrt{3}$。

$\Delta ABC$ 的面积为：
$$ S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2}ac \sin B $$
代入 $a=3, c=\sqrt{3}, \sin B = \frac{\sqrt{6}}{3}$：
$$ S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \times 3 \times \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{6}}{3} = \frac{1}{2} \times \sqrt{3} \times \sqrt{6} = \frac{1}{2} \sqrt{18} = \frac{3\sqrt{2}}{2} $$