（12分）如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，…——2016 高考数学第 18 题答案解析

（Ⅰ）证明：
因为 $P-ABC$ 是正三棱锥，且 $D$ 为顶点 $P$ 在底面 $ABC$ 内的正投影，
所以 $PD \perp$ 平面 $ABC$。
因为 $AB \subset$ 平面 $ABC$，所以 $PD \perp AB$。

又因为 $E$ 为点 $D$ 在侧面 $PAB$ 内的正投影，
所以 $DE \perp$ 平面 $PAB$。
因为 $AB \subset$ 平面 $PAB$，所以 $DE \perp AB$。

因为 $PD \cap DE = D$，且 $PD, DE \subset$ 平面 $PDE$，
所以 $AB \perp$ 平面 $PDE$。
因为 $PG \subset$ 平面 $PDE$（$G$ 在 $PE$ 的延长线上），
所以 $AB \perp PG$。

在 $\triangle PAB$ 中，由正三棱锥性质知侧棱 $PA=PB$，
所以 $\triangle PAB$ 为等腰三角形。
又因为 $PG \perp AB$，根据等腰三角形“三线合一”性质，
所以 $G$ 是 $AB$ 的中点。

（Ⅱ）解：
**作法及理由：**
在平面 $PAB$ 内，过点 $E$ 作 $EF \parallel PB$，交 $PA$ 于点 $F$，则点 $F$ 即为点 $E$ 在平面 $PAC$ 内的正投影。
理由如下：
由题意，正三棱锥 $P-ABC$ 的侧面是直角三角形，且 $PA=PB=PC=6$。
所以 $PB \perp PA$，$PB \perp PC$。
因为 $PA \cap PC = P$，所以 $PB \perp$ 平面 $PAC$。
因为 $EF \parallel PB$，所以 $EF \perp$ 平面 $PAC$。
故 $F$ 为 $E$ 在平面 $PAC$ 上的正投影。

**体积计算：**
1. **确定几何量长度：**
由 $PB \perp$ 平面 $PAC$ 且 $DE \perp$ 平面 $PAB$，可知 $DE \parallel PB$（均垂直于相交平面或平行线性质推导，此处更严谨推导如下：$PB \perp PA, PB \perp PC \implies PB \perp$ 面 $PAC$。而 $DE \perp$ 面 $PAB$。由于侧面是等腰直角三角形，建立空间直角坐标系或利用相似比更直观）。

让我们利用比例关系求解：
在 Rt$\triangle PAB$ 中，$PA=PB=6$，则 $AB = 6\sqrt{2}$。
$G$ 为 $AB$ 中点，则 $PG \perp AB$，且 $PG = \frac{1}{2}AB = 3\sqrt{2}$。

考察平面 $PAB$ 内的几何关系：
$D$ 为正 $\triangle ABC$ 的中心，$G$ 为 $AB$ 中点，则 $C, D, G$ 共线，且 $CD = 2DG$，即 $DG = \frac{1}{3}CG$。
在正三棱锥中，$PD \perp$ 底面 $ABC$，故 $PD \perp CG$。
在 Rt$\triangle PDG$ 中，$DE \perp PG$（因为 $DE \perp$ 面 $PAB$，$PG \subset$ 面 $PAB$，此处理解有误，应是 $DE \perp$ 面 $PAB$ 意味着 $DE$ 垂直于面内所有直线，包括 $PG$？不，$E$ 是 $D$ 在面 $PAB$ 的投影，所以 $DE \perp$ 面 $PAB$，自然 $DE \perp PG$。但在 $\triangle PDG$ 所在的截面中，我们需要看 $E$ 的位置）。

更正视角：
$D$ 在平面 $PAB$ 的投影为 $E$。
考虑平面 $PCG$（即平面 $PCD$ 与 $PG$ 构成的空间关系，或者直接看 $\triangle PAB$ 和点 $D$ 的关系）。
实际上，$DE \perp$ 平面 $PAB$。
由于 $PB \perp$ 平面 $PAC$，且 $EF \parallel PB$，所以 $EF \perp$ 平面 $PAC$。
同时 $DE \perp$ 平面 $PAB$，而 $PB \subset$ 平面 $PAB$，所以 $DE \perp PB$。
因为 $EF \parallel PB$，所以 $DE \perp EF$。

我们需要求 $DE, EF, PF$ 的长度。

**计算 $DE$ 和 $PE$：**
在正三棱锥中，$D$ 是底面中心。
连接 $CD$ 并延长交 $AB$ 于 $G$。$CG$ 是底面高，$CG = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 6\sqrt{2} = 3\sqrt{6}$。
$DG = \frac{1}{3} CG = \sqrt{6}$。
$PD = \sqrt{PA^2 - AD^2}$。$AD = \frac{2}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times 6\sqrt{2} = 2\sqrt{6}$。
$PD = \sqrt{36 - 24} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$。

在 Rt$\triangle PDG$ 中，$PD=2\sqrt{3}, DG=\sqrt{6}$。
$PG = \sqrt{PD^2 + DG^2} = \sqrt{12+6} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$。（与之前直接算 $\triangle PAB$ 中线一致）。

注意：$E$ 是 $D$ 在平面 $PAB$ 上的投影。
由于平面 $PAB \perp$ 平面 $PCG$ 吗？
$AB \perp PG, AB \perp CG \implies AB \perp$ 平面 $PCG$。
平面 $PAB$ 包含 $AB$，所以平面 $PAB \perp$ 平面 $PCG$。
交线为 $PG$。
因为 $D \in$ 平面 $PCG$，且 $DE \perp$ 平面 $PAB$，
所以 $E$ 必在交线 $PG$ 上，且 $DE \perp PG$。

在 Rt$\triangle PDG$ 中，$DE$ 是斜边 $PG$ 上的高。
由面积法：$PD \cdot DG = PG \cdot DE$
$2\sqrt{3} \cdot \sqrt{6} = 3\sqrt{2} \cdot DE$
$2\sqrt{18} = 3\sqrt{2} \cdot DE \implies 6\sqrt{2} = 3\sqrt{2} \cdot DE \implies DE = 2$。

在 Rt$\triangle PDE$ 中，$PE = \sqrt{PD^2 - DE^2} = \sqrt{12 - 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$。

**计算 $EF$ 和 $PF$：**
在平面 $PAB$ 内，$\triangle PAB$ 是等腰直角三角形，$\angle APB = 90^\circ$。
$PG$ 是 $\angle APB$ 的角平分线（也是中线、高），所以 $\angle E P F = \angle G P A = 45^\circ$。

已知 $EF \parallel PB$。
因为 $PB \perp PA$，所以 $EF \perp PA$。
即 $\triangle PEF$ 是直角三角形，$\angle PFE = 90^\circ$。
又因为 $\angle EPF = 45^\circ$，所以 $\triangle PEF$ 是等腰直角三角形。

斜边 $PE = 2\sqrt{2}$。
所以直角边 $EF = PF = PE \cdot \sin 45^\circ = 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2$。

**计算体积 $V_{P-DEF}$：**
视 $F$ 为顶点，$\triangle PDE$ 为底面？或者视 $E$ 为顶点？
最方便的是利用 $EF \perp$ 平面 $PAC$ 这一性质不太直接用于 $P-DEF$，因为 $D$ 不在平面 $PAC$ 上。

我们可以转换顶点：$V_{P-DEF} = V_{F-PDE}$。
需要求 $F$ 到平面 $PDE$ 的距离？这比较麻烦。

换个角度：
$V_{P-DEF} = \frac{1}{3} S_{\triangle PEF} \cdot h$，其中 $h$ 是 $D$ 到平面 $PEF$（即平面 $PAB$）的距离。
由定义，$D$ 到平面 $PAB$ 的距离就是线段 $DE$ 的长度。
所以 $h = DE = 2$。

$\triangle PEF$ 的面积：
$S_{\triangle PEF} = \frac{1}{2} \cdot PF \cdot EF = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$。

所以，四面体 $PDEF$ 的体积：
$V = \frac{1}{3} \cdot S_{\triangle PEF} \cdot DE = \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 2 = \frac{4}{3}$。