19、（本小题满分 12 分）
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的首项为 $1, S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 n 项和，$S_{n+1}=q S_{n}+1$ ，其中 $q>0, n \in N^{*}$ ．
（I）若 $a_{2}, a_{3}, a_{2}+a_{3}$ 成等差数列，求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）设双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{a_{n}^{2}}=1$ 的离心率为 $e_{n}$ ，且 $e_{2}=2$ ，求 $e_{1}^{2}+e_{2}^{2}+\cdots+e_{n}^{2}$ ．
Answer key
（ I ）$a_{n}=q^{n-1}$ ；（II ）$n+\frac{1}{2}\left(3^{n}-1\right)$ ．