已知 a_ n 为等差数列， b_ n 是公比为 2 的等…——2022 高考数学第 17 题答案解析

（1）设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$，等比数列 $\{b_n\}$ 的首项为 $b_1$。
由题意知 $b_n = b_1 \cdot 2^{n-1}$，则 $b_2 = 2b_1, b_3 = 4b_1, b_4 = 8b_1$。
等差数列通项为 $a_n = a_1 + (n-1)d$，则 $a_2 = a_1+d, a_3 = a_1+2d, a_4 = a_1+3d$。

根据已知条件 $a_2 - b_2 = a_3 - b_3$，代入得：
$(a_1 + d) - 2b_1 = (a_1 + 2d) - 4b_1$
化简得：$d - 2b_1 = 2d - 4b_1 \implies d = 2b_1$ ①

再根据条件 $a_2 - b_2 = b_4 - a_4$，代入得：
$(a_1 + d) - 2b_1 = 8b_1 - (a_1 + 3d)$
整理得：$a_1 + d - 2b_1 = 8b_1 - a_1 - 3d$
$2a_1 + 4d = 10b_1 \implies a_1 + 2d = 5b_1$ ②

将 ① 式 $d=2b_1$ 代入 ② 式：
$a_1 + 2(2b_1) = 5b_1 \implies a_1 + 4b_1 = 5b_1 \implies a_1 = b_1$。
故 $a_1 = b_1$ 得证。

（2）由（1）可知 $a_1 = b_1$ 且 $d = 2b_1 = 2a_1$。
若 $a_1=0$，则 $d=0, b_1=0$，此时 $a_n=0, b_n=0$。
方程 $b_k = a_m + a_1$ 变为 $0 = 0 + 0$，对任意 $k, m$ 成立。
但通常等比数列公比存在隐含 $b_1 \neq 0$（否则各项均为0，讨论无意义或需单独说明，结合高考题常规语境及第二问求具体个数，隐含 $a_1 \neq 0$）。
假设 $a_1 \neq 0$，则 $b_1 \neq 0, d \neq 0$。

方程 $b_k = a_m + a_1$ 可写为：
$b_1 \cdot 2^{k-1} = [a_1 + (m-1)d] + a_1$
代入 $b_1 = a_1$ 和 $d = 2a_1$：
$a_1 \cdot 2^{k-1} = 2a_1 + (m-1)2a_1$
因为 $a_1 \neq 0$，两边同除以 $a_1$：
$2^{k-1} = 2 + 2(m-1)$
$2^{k-1} = 2 + 2m - 2$
$2^{k-1} = 2m$
$m = 2^{k-2}$

题目要求 $1 \leq m \leq 500$ 且 $m$ 为正整数，同时 $k$ 为正整数（数列下标）。
由 $m = 2^{k-2}$ 可知，要使 $m$ 为整数，$k-2 \geq 0 \implies k \geq 2$。
又因为 $1 \leq m \leq 500$，即：
$1 \leq 2^{k-2} \leq 500$

解不等式：
左边：$2^{k-2} \geq 1 \implies k-2 \geq 0 \implies k \geq 2$。
右边：$2^{k-2} \leq 500$。
我们知道 $2^8 = 256$，$2^9 = 512$。
所以 $k-2$ 的最大整数值为 8。
即 $k-2 \leq 8 \implies k \leq 10$。

综上，$k$ 的取值范围是整数 $2, 3, \dots, 10$。
$k$ 的可能取值为 $2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$。
元素个数为 $10 - 2 + 1 = 9$ 个。