（12分）已知等差数列 a_ n 的公差不为零， a_ 1…——2013 高考数学第 17 题答案解析

（I）设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$。
由题意知 $d \neq 0$，且 $a_1, a_{11}, a_{13}$ 成等比数列，根据等比中项性质可得：
$$ a_{11}^2 = a_1 a_{13} $$
将等差数列通项公式 $a_n = a_1 + (n-1)d$ 代入上式，其中 $a_1 = 25$：
$$ (25 + 10d)^2 = 25(25 + 12d) $$
展开并整理方程：
$$ 625 + 500d + 100d^2 = 625 + 300d $$
$$ 100d^2 + 200d = 0 $$
$$ 100d(d + 2) = 0 $$
因为 $d \neq 0$，所以解得 $d = -2$。
故数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为：
$$ a_n = 25 + (n-1)(-2) = 25 - 2n + 2 = -2n + 27 $$

（II）所求和式为 $S = a_1 + a_4 + a_7 + \ldots + a_{3n-2}$。
该和式共有 $n$ 项，各项的下标构成首项为 1、公差为 3 的等差数列，第 $k$ 项的下标为 $3k-2$ ($1 \le k \le n$)。
令 $b_k = a_{3k-2}$，则新数列 $\{b_k\}$ 的通项为：
$$ b_k = -2(3k-2) + 27 = -6k + 4 + 27 = -6k + 31 $$
由此可见，$\{b_k\}$ 是一个首项 $b_1 = -6(1) + 31 = 25$，公差 $d' = -6$ 的等差数列。
利用等差数列前 $n$ 项和公式计算：
$$ S_n = \frac{n(b_1 + b_n)}{2} = \frac{n[25 + (-6n + 31)]}{2} $$
$$ S_n = \frac{n(56 - 6n)}{2} = n(28 - 3n) = -3n^2 + 28n $$