（10分）在直角坐标系 x o y，曲线C的参数方程为 a…——2017 高考数学第 22 题答案解析

（1）消去曲线 $C$ 参数方程 $\begin{cases} x = 3\cos\theta \\ y = \sin\theta \end{cases}$ 中的参数 $\theta$，由 $\cos\theta = \frac{x}{3}, \sin\theta = y$ 及 $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$，得曲线 $C$ 的普通方程为：
$$ \frac{x^2}{9} + y^2 = 1 $$

当 $a = -1$ 时，直线 $l$ 的参数方程为 $\begin{cases} x = -1 + 4t \\ y = 1 - t \end{cases}$。
消去参数 $t$：由 $y = 1 - t$ 得 $t = 1 - y$，代入 $x$ 的表达式得 $x = -1 + 4(1 - y) = 3 - 4y$，即直线 $l$ 的一般方程为：
$$ x + 4y - 3 = 0 $$

联立曲线 $C$ 与直线 $l$ 的方程：
$$ \begin{cases} \frac{x^2}{9} + y^2 = 1 \\ x = 3 - 4y \end{cases} $$
将 $x = 3 - 4y$ 代入椭圆方程：
$$ \frac{(3 - 4y)^2}{9} + y^2 = 1 $$
整理得：
$$ (3 - 4y)^2 + 9y^2 = 9 $$
$$ 9 - 24y + 16y^2 + 9y^2 = 9 $$
$$ 25y^2 - 24y = 0 $$
解得 $y = 0$ 或 $y = \frac{24}{25}$。

当 $y = 0$ 时，$x = 3 - 0 = 3$，交点为 $(3, 0)$；
当 $y = \frac{24}{25}$ 时，$x = 3 - 4 \times \frac{24}{25} = \frac{75 - 96}{25} = -\frac{21}{25}$，交点为 $(-\frac{21}{25}, \frac{24}{25})$。

故 $C$ 与 $l$ 的交点坐标为 $(3, 0)$ 和 $(-\frac{21}{25}, \frac{24}{25})$。

（2）直线 $l$ 的参数方程为 $\begin{cases} x = a + 4t \\ y = 1 - t \end{cases}$，消去 $t$ 得其一般方程为：
$$ x + 4y - a - 4 = 0 $$

设曲线 $C$ 上任意一点 $P$ 的坐标为 $(3\cos\theta, \sin\theta)$，$\theta \in [0, 2\pi)$。
点 $P$ 到直线 $l$ 的距离 $d$ 为：
$$ d = \frac{|3\cos\theta + 4\sin\theta - a - 4|}{\sqrt{1^2 + 4^2}} = \frac{|3\cos\theta + 4\sin\theta - a - 4|}{\sqrt{17}} $$

利用辅助角公式，令 $3\cos\theta + 4\sin\theta = 5\sin(\theta + \varphi)$，其中 $\tan\varphi = \frac{3}{4}$。
因为 $\sin(\theta + \varphi) \in [-1, 1]$，所以 $3\cos\theta + 4\sin\theta \in [-5, 5]$。
令 $u = 3\cos\theta + 4\sin\theta$，则 $d = \frac{|u - (a + 4)|}{\sqrt{17}}$，其中 $u \in [-5, 5]$。

题目已知距离的最大值为 $\sqrt{17}$，即：
$$ \max_{u \in [-5, 5]} \frac{|u - (a + 4)|}{\sqrt{17}} = \sqrt{17} $$
$$ \max_{u \in [-5, 5]} |u - (a + 4)| = 17 $$

函数 $f(u) = |u - (a + 4)|$ 在区间 $[-5, 5]$ 上的最大值只能在端点处取得，即 $u = -5$ 或 $u = 5$。
所以 $\max(|-5 - a - 4|, |5 - a - 4|) = 17$，即 $\max(|a + 9|, |a - 1|) = 17$。

分情况讨论：
1. 若 $|a + 9| \ge |a - 1|$，则最大值为 $|a + 9| = 17$。
解得 $a + 9 = 17$ 或 $a + 9 = -17$，即 $a = 8$ 或 $a = -26$。
检验条件 $|a + 9| \ge |a - 1|$：
- 当 $a = 8$ 时，$|17| \ge |7|$，成立。此时 $|a-1|=7 \neq 17$，最大值确为17。
- 当 $a = -26$ 时，$|-17| \ge |-27|$ 即 $17 \ge 27$，不成立。舍去。

2. 若 $|a - 1| > |a + 9|$，则最大值为 $|a - 1| = 17$。
解得 $a - 1 = 17$ 或 $a - 1 = -17$，即 $a = 18$ 或 $a = -16$。
检验条件 $|a - 1| > |a + 9|$：
- 当 $a = 18$ 时，$|17| > |27|$ 即 $17 > 27$，不成立。舍去。
- 当 $a = -16$ 时，$|-17| > |-7|$ 即 $17 > 7$，成立。此时 $|a+9|=7 \neq 17$，最大值确为17。

综上所述，$a$ 的值为 $8$ 或 $-16$。