（12分）如图，在 A B C 中， A B C = 9…——2013 高考数学第 17 题答案解析

（1）在 $\text{Rt}\triangle PBC$ 中，已知 $PB = \frac{1}{2}$，$BC = 1$。
由余弦定义可得：
$$ \cos \angle PBC = \frac{PB}{BC} = \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2} $$
因为 $\angle PBC$ 为锐角，所以 $\angle PBC = 60^{\circ}$。

又因为 $\angle ABC = 90^{\circ}$，所以：
$$ \angle PBA = \angle ABC - \angle PBC = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} $$

在 $\triangle PBA$ 中，已知 $AB = \sqrt{3}$，$PB = \frac{1}{2}$，$\angle PBA = 30^{\circ}$。
由余弦定理得：
$$ PA^2 = AB^2 + PB^2 - 2 AB \cdot PB \cdot \cos \angle PBA $$
代入数据：
$$ PA^2 = (\sqrt{3})^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 - 2 \times \sqrt{3} \times \frac{1}{2} \times \cos 30^{\circ} $$
$$ PA^2 = 3 + \frac{1}{4} - \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 + \frac{1}{4} - \frac{3}{2} = \frac{12+1-6}{4} = \frac{7}{4} $$
解得 $PA = \frac{\sqrt{7}}{2}$。

（2）设 $\angle PBA = \alpha$。
因为 $\angle ABC = 90^{\circ}$，所以 $\angle PBC = 90^{\circ} - \alpha$。
在 $\text{Rt}\triangle PBC$ 中，$BC=1$，则：
$$ PB = BC \cdot \cos \angle PBC = 1 \cdot \cos(90^{\circ} - \alpha) = \sin \alpha $$

在 $\triangle PBA$ 中，$\angle APB = 150^{\circ}$，$\angle PBA = \alpha$。
根据三角形内角和定理，$\angle PAB = 180^{\circ} - 150^{\circ} - \alpha = 30^{\circ} - \alpha$。
由正弦定理 $\frac{AB}{\sin \angle APB} = \frac{PB}{\sin \angle PAB}$ 可得：
$$ \frac{\sqrt{3}}{\sin 150^{\circ}} = \frac{\sin \alpha}{\sin(30^{\circ} - \alpha)} $$

因为 $\sin 150^{\circ} = \frac{1}{2}$，整理得：
$$ \frac{\sqrt{3}}{1/2} = \frac{\sin \alpha}{\sin(30^{\circ} - \alpha)} \implies 2\sqrt{3} \sin(30^{\circ} - \alpha) = \sin \alpha $$

展开左边：
$$ 2\sqrt{3} (\sin 30^{\circ} \cos \alpha - \cos 30^{\circ} \sin \alpha) = \sin \alpha $$
$$ 2\sqrt{3} \left( \frac{1}{2} \cos \alpha - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha \right) = \sin \alpha $$
$$ \sqrt{3} \cos \alpha - 3 \sin \alpha = \sin \alpha $$
$$ \sqrt{3} \cos \alpha = 4 \sin \alpha $$

两边同时除以 $4 \cos \alpha$（因为 $\alpha$ 为三角形内角且 $\angle APB=150^\circ$，故 $\alpha < 30^\circ$，$\cos \alpha \neq 0$）：
$$ \tan \alpha = \frac{\sqrt{3}}{4} $$
即 $\tan \angle PBA = \frac{\sqrt{3}}{4}$。