（4分）（2008•山东）设函数 f ( x ) = a…——2008 高考数学第 14 题答案解析

由题意，函数 $f(x) = ax^2 + c$ ($a \neq 0$)。

首先计算定积分 $\int_{0}^{1} f(x) \, dx$：
$$ \int_{0}^{1} (ax^2 + c) \, dx = \left[ \frac{1}{3}ax^3 + cx \right]_{0}^{1} = \left( \frac{1}{3}a \cdot 1^3 + c \cdot 1 \right) - 0 = \frac{a}{3} + c $$

根据题设条件 $\int_{0}^{1} f(x) \, dx = f(x_0)$，可得：
$$ f(x_0) = \frac{a}{3} + c $$

又因为 $f(x_0) = ax_0^2 + c$，代入上式得：
$$ ax_0^2 + c = \frac{a}{3} + c $$

两边消去 $c$，得：
$$ ax_0^2 = \frac{a}{3} $$

由于 $a \neq 0$，两边同时除以 $a$，得：
$$ x_0^2 = \frac{1}{3} $$

解得 $x_0 = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$。

因为题目限定 $0 \leq x_0 \leq 1$，所以舍去负值，取：
$$ x_0 = \frac{\sqrt{3}}{3} $$