（1）由题意，抛物线 $C$ 的顶点为原点，焦点 $F(0, c)$ ($c>0$)，故设抛物线方程为 $x^2 = 4cy$。
焦点 $F(0, c)$ 到直线 $l: x - y - 2 = 0$ 的距离为：
$$ d = \frac{|0 - c - 2|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|c + 2|}{\sqrt{2}} $$
因为 $c > 0$，所以 $|c + 2| = c + 2$。
由已知 $d = \frac{3\sqrt{2}}{2}$，可得：
$$ \frac{c + 2}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \implies c + 2 = 3 \implies c = 1 $$
所以抛物线 $C$ 的方程为 $x^2 = 4y$。
（2）设 $A(x_1, y_1)$，$B(x_2, y_2)$。由 $x^2 = 4y$ 得 $y = \frac{1}{4}x^2$，求导得 $y' = \frac{1}{2}x$。
切线 $PA$ 的斜率为 $k_{PA} = \frac{1}{2}x_1$，方程为：
$$ y - y_1 = \frac{1}{2}x_1(x - x_1) $$
代入 $y_1 = \frac{1}{4}x_1^2$，整理得：
$$ y = \frac{1}{2}x_1 x - \frac{1}{4}x_1^2 = \frac{1}{2}x_1 x - y_1 $$
同理，切线 $PB$ 的方程为：
$$ y = \frac{1}{2}x_2 x - y_2 $$
因为点 $P(x_0, y_0)$ 在切线 $PA$ 和 $PB$ 上，所以满足：
$$ y_0 = \frac{1}{2}x_1 x_0 - y_1 \implies \frac{1}{2}x_0 x_1 - y_1 - y_0 = 0 $$
$$ y_0 = \frac{1}{2}x_2 x_0 - y_2 \implies \frac{1}{2}x_0 x_2 - y_2 - y_0 = 0 $$
这表明点 $A(x_1, y_1)$ 和 $B(x_2, y_2)$ 的坐标均满足方程 $\frac{1}{2}x_0 x - y - y_0 = 0$。
故直线 $AB$ 的方程为：
$$ \frac{1}{2}x_0 x - y - y_0 = 0 \quad \text{即} \quad x_0 x - 2y - 2y_0 = 0 $$
又因为点 $P(x_0, y_0)$ 在直线 $l: x - y - 2 = 0$ 上，所以 $y_0 = x_0 - 2$。
代入直线 $AB$ 方程可得：
$$ x_0 x - 2y - 2(x_0 - 2) = 0 \implies x_0(x - 2) - 2y + 4 = 0 $$
或者保留参数形式 $y = \frac{x_0}{2}x - y_0$。通常写为 $x_0 x - 2y - 2y_0 = 0$ 即可。
（3）由抛物线定义可知，抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到准线 $y = -1$ 的距离。
所以 $|AF| = y_1 + 1$， $|BF| = y_2 + 1$。
则：
$$ |AF| \cdot |BF| = (y_1 + 1)(y_2 + 1) = y_1 y_2 + (y_1 + y_2) + 1 $$
联立直线 $AB$ 方程 $x_0 x - 2y - 2y_0 = 0$ 与抛物线方程 $x^2 = 4y$：
由直线方程得 $x = \frac{2(y + y_0)}{x_0}$ (当 $x_0 \neq 0$)，代入抛物线方程较繁琐。
更简便的方法是利用韦达定理。
将 $y = \frac{1}{4}x^2$ 代入直线 $AB$ 方程 $y = \frac{x_0}{2}x - y_0$：
$$ \frac{1}{4}x^2 - \frac{x_0}{2}x + y_0 = 0 \implies x^2 - 2x_0 x + 4y_0 = 0 $$
该方程的两根为 $x_1, x_2$。由韦达定理：
$$ x_1 + x_2 = 2x_0, \quad x_1 x_2 = 4y_0 $$
我们需要计算 $y_1 y_2$ 和 $y_1 + y_2$：
$$ y_1 y_2 = \frac{x_1^2}{4} \cdot \frac{x_2^2}{4} = \frac{(x_1 x_2)^2}{16} = \frac{(4y_0)^2}{16} = y_0^2 $$
$$ y_1 + y_2 = \frac{x_1^2 + x_2^2}{4} = \frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2}{4} = \frac{(2x_0)^2 - 2(4y_0)}{4} = \frac{4x_0^2 - 8y_0}{4} = x_0^2 - 2y_0 $$
所以：
$$ |AF| \cdot |BF| = y_0^2 + (x_0^2 - 2y_0) + 1 = x_0^2 + y_0^2 - 2y_0 + 1 = x_0^2 + (y_0 - 1)^2 $$
因为点 $P(x_0, y_0)$ 在直线 $x - y - 2 = 0$ 上，即 $x_0 = y_0 + 2$。
代入上式，将目标函数转化为关于 $y_0$ 的二次函数：
$$ f(y_0) = (y_0 + 2)^2 + (y_0 - 1)^2 $$
$$ f(y_0) = (y_0^2 + 4y_0 + 4) + (y_0^2 - 2y_0 + 1) = 2y_0^2 + 2y_0 + 5 $$
这是一个开口向上的抛物线，对称轴为 $y_0 = -\frac{2}{2 \times 2} = -\frac{1}{2}$。
所以当 $y_0 = -\frac{1}{2}$ 时，取得最小值：
$$ f(-\frac{1}{2}) = 2(-\frac{1}{2})^2 + 2(-\frac{1}{2}) + 5 = 2(\frac{1}{4}) - 1 + 5 = \frac{1}{2} + 4 = \frac{9}{2} $$
此时 $x_0 = -\frac{1}{2} + 2 = \frac{3}{2}$，点 $P(\frac{3}{2}, -\frac{1}{2})$ 存在且符合题意。
故 $|AF| \cdot |BF|$ 的最小值为 $\frac{9}{2}$。