（12分）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前…——2012 高考数学第 19 题答案解析

记事件 $A_i$ 为“前两次发球中甲得 $i$ 分” ($i=0,1,2$)，事件 $C$ 为“第3次发球甲得分”。
由题意，发球方得分概率为 $0.6$，则接发球方（即对方）得分概率为 $0.4$。
甲先发球，故第1、2次由甲发球，第3次由乙发球。

对于前两次发球（甲发）：
甲每次得分概率 $P(\text{甲胜}) = 0.6$，失分概率 $P(\text{甲负}) = 0.4$。
$P(A_0) = 0.4 \times 0.4 = 0.16$ （甲得0分，即乙得2分）
$P(A_1) = C_2^1 \times 0.6 \times 0.4 = 0.48$ （甲得1分，即乙得1分）
$P(A_2) = 0.6 \times 0.6 = 0.36$ （甲得2分，即乙得0分）

对于第3次发球（乙发）：
乙是发球方，乙得分概率为 $0.6$，甲得分概率为 $0.4$。
即 $P(C) = 0.4$，$P(\bar{C}) = 0.6$（此时乙得分）。

（Ⅰ）开始第4次发球时，共进行了3次发球。
甲、乙比分为 $1:2$，意味着甲得1分，乙得2分。
这包含两种互斥情况：
1. 前两次甲得0分（$A_0$），且第3次甲得1分（$C$）。此时甲总分 $0+1=1$，乙总分 $2+0=2$。
概率为 $P(A_0)P(C) = 0.16 \times 0.4 = 0.064$。
2. 前两次甲得1分（$A_1$），且第3次甲得0分（$\bar{C}$，即乙得分）。此时甲总分 $1+0=1$，乙总分 $1+1=2$。
概率为 $P(A_1)P(\bar{C}) = 0.48 \times 0.6 = 0.288$。

故所求概率 $P = 0.064 + 0.288 = 0.352$。

（Ⅱ）$\xi$ 表示开始第4次发球时乙的得分。
前两次乙的得分可能为 $2, 1, 0$（对应 $A_0, A_1, A_2$）。
第3次乙若得分（$\bar{C}$），则乙再加1分；若不得分（$C$），则乙加0分。
$\xi$ 的可能取值为 $0, 1, 2, 3$。

1. $\xi = 0$：
需前两次乙得0分（$A_2$），且第3次乙不得分（$C$）。
$P(\xi=0) = P(A_2)P(C) = 0.36 \times 0.4 = 0.144$。

2. $\xi = 1$：
情况一：前两次乙得1分（$A_1$），第3次乙不得分（$C$）。
概率 $P(A_1)P(C) = 0.48 \times 0.4 = 0.192$。
情况二：前两次乙得0分（$A_2$），第3次乙得分（$\bar{C}$）。
概率 $P(A_2)P(\bar{C}) = 0.36 \times 0.6 = 0.216$。
$P(\xi=1) = 0.192 + 0.216 = 0.408$。

3. $\xi = 2$：
情况一：前两次乙得2分（$A_0$），第3次乙不得分（$C$）。
概率 $P(A_0)P(C) = 0.16 \times 0.4 = 0.064$。
情况二：前两次乙得1分（$A_1$），第3次乙得分（$\bar{C}$）。
概率 $P(A_1)P(\bar{C}) = 0.48 \times 0.6 = 0.288$。
$P(\xi=2) = 0.064 + 0.288 = 0.352$。（此即第Ⅰ问的结果）

4. $\xi = 3$：
需前两次乙得2分（$A_0$），且第3次乙得分（$\bar{C}$）。
$P(\xi=3) = P(A_0)P(\bar{C}) = 0.16 \times 0.6 = 0.096$。

检验概率和：$0.144 + 0.408 + 0.352 + 0.096 = 1.0$，计算无误。

$\xi$ 的分布列为：

期望 $E\xi = 0 \times 0.144 + 1 \times 0.408 + 2 \times 0.352 + 3 \times 0.096$
$= 0 + 0.408 + 0.704 + 0.288$
$= 1.4$。