2012年高考数学真题及答案解析

1．（5分）已知集合 $\mathsf { A } { = } \left\{ { \mathsf { x } } { \in } \mathsf { R } \mid 3 { \mathsf { x } } { + } 2 { \mathsf { > } } 0 \right\}$ $B = \{ x \in R \vert ( \ x + 1 ) ( \ x - 3 ) > 0 \}$ ，则 $\mathsf { A } \cap \mathsf { B } \ b =$ （　　）

1．（5分）已知集合 $\mathsf { A } { = } \left\{ { \mathsf { x } } { \in } \mathsf { R } \mid 3 { \mathsf { x } } { + } 2 { \mathsf { > } } 0 \right\}$ $B = \{ x \in { \mathsf { R } } | \left( { \mathsf { x } } { + } 1 \right) \left( { \mathsf { x } } - 3 \right) > 0 \}$ ，则 $\mathsf { A } \cap \mathsf { B } \ b =$ （　　）

2．（5分）在复平面内，复数 $\frac { 1 0 \mathrm { i } } { 3 + \mathrm { i } }$ 对应的点的坐标为（　　）

2．（5分）设不等式组 $\{ 0 \leqslant x \leqslant 2$ ，表示的平面区域为D，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（　　）A $\frac { \pi } { 4 }$ B． $\frac { \pi - 2 } { 2 }$ C $\frac { \pi } { 6 }$ D $\frac { 4 - \pi } { 4 }$

3．设 $a$，$b\in\mathbb{R}$．“$a=0$”是“复数 $a+bi$ 是纯虚数”的（　　）

4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（　　）

4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（　　）

5．（5 分）如图， $\angle A C B = 9 0 ^ { \circ }$ $C D \bot A B$ 于点 D，以 BD 为直径的圆与 BC 交于点E．则（　　）

A $\mathsf { C E ^ { \bullet } C B = A D \bullet D B }$ B $\mathsf { C E ^ { \bullet } C B = A D \bullet A B }$ C $A D \bullet A B = C D ^ { 2 }$ D ${ \mathsf { C E } } ^ { \bullet } { \mathsf { E B } } { = } { \mathsf { C D } } ^ { 2 }$

6．（5分）已知 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 为等比数列，下面结论中正确的是（　　） A $\mathtt { a } _ { 1 } \mathtt { + a } _ { 3 } \geqslant 2 \mathtt { a } _ { 2 }$ B $\mathsf { a } _ { 1 } { } ^ { 2 + } \mathsf { a } _ { 3 } { } ^ { 2 } \geqslant { 2 \mathsf { a } _ { 2 } } ^ { 2 }$ C．若 $\mathtt { a } _ { 1 } \mathtt { = a } _ { 3 }$ ，则 $\mathtt { a } _ { 1 } \mathtt { = a } _ { 2 }$ D．若 $\mathsf { a } _ { 3 } > \mathsf { a } _ { 1 }$ ，则 $\mathtt { a } _ { 4 } > \mathtt { a } _ { 2 }$

6．（5 分）从 0、2 中选一个数字．从 1、3、5 中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为（　　）

7．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（　　）

俯视图

正(主)视图

侧(左)视图

A $2 8 + 6 \sqrt { 5 }$ B $3 0 + 6 \sqrt { 5 }$ C $5 6 \div 1 2 \sqrt { 5 }$ D $6 0 \substack { + 1 2 \sqrt { 5 } }$

8．（5分）某棵果树前n 年的总产量 $\mathsf { S } _ { \mathsf { n } }$ 与n之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，则m的值为（　　）↑Sn
o1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 42

8．（5分）某棵果树前n 年的总产量 $\mathsf { S } _ { \mathsf { n } }$ 与n之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，则m的值为（　　）

9．（5 分）直线 $y=x$ 被圆 $x^2+ (y - 2)^2=4$ 截得的弦长为____.

9．（5 分）直线 $\scriptstyle { \left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { x } = 2 + t } \\ { \mathbf { y } = - 1 - t } \end{array} \right. }$ （t 为参数）与曲线 $\left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { x } = 3 \mathsf { c o s } ^ { \mathbb { G } } } \\ { \mathbf { y } = 3 \mathsf { s i n } ^ { \mathbb { G } } } \end{array} \right.$ （α 为参数）的交点个数为　2

10．（5 分）已知 $\{ \textsf { a } _ { \mathfrak { n } } \}$ 是等差数列， $\mathsf { S } _ { \mathsf { n } }$ 为其前 n 项和．若 $\mathsf { a } _ { 1 } \mathsf { = } \frac { 1 } { 2 } , ~ \mathsf { s } _ { 2 } \mathsf { = } \mathsf { a } _ { 3 }$ ，则 $\mathtt { a } _ { 2 } =$
1

11．（5 分）在 $\triangle A B C$ 中，若 a=2，b+c=7， $\cos \ B = - \frac { 1 } { 4 }$ ，则 $b = 4$

11．（5 分）在 $\triangle A B C$ 中，若 a=3， $b = \sqrt { 3 } , \angle A = \frac { \pi } { 3 }$ ，则∠C 的大小为 $- { \frac { \pi } { 2 } } -$

12．（5 分）已知函数 $f(x)=\lg x$，若 $f(ab)=1$，则 $f(a^2)+f(b^2)=\underline{2}$．

12．（5 分）在直角坐标系 xOy 中．直线 l 过抛物线 $y ^ { 2 } = 4 x$ 的焦点 F．且与该抛物线相交于 A、B 两点．其中点 A 在 x 轴上方．若直线 l 的倾斜角为 $60 ^ { \circ }$ ．则 $\bigtriangleup$ OAF的面积为 $\sqrt { 3 }$

13．（5 分）已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点．则 $\overrightarrow { D E } \cdot \overrightarrow { C B }$ 的值为　1

13．（5 分）已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点．则 $\overrightarrow { D E } \cdot \overrightarrow { C B }$ 的值为　1

16．（14 分）如图 1，在 Rt△ABC 中， $\angle C = 9 0 ^ { \circ }$ ，D，E 分别为 AC，AB 的中点，点F为线段CD上的一点，将 $\triangle \mathsf { A D E }$ 沿DE 折起到 $\triangle \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { D } \mathsf { E }$ 的位置，使 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { F \bot C D }$ 如图 2

（1）求证：DE∥平面 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { C B }$

（2）求证： $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { F } \bot \mathsf { B } \mathsf { E }$

（3）线段 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B }$ 上是否存在点Q，使 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { C } \bot$ 平面DEQ？说明理由

图1

图2

17．（13分）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）；

<table><tr><td colspan="1" rowspan="1"></td><td colspan="1" rowspan="1">“厨余垃圾”箱</td><td colspan="1" rowspan="1">“可回收物”箱</td><td colspan="1" rowspan="1">“其他垃圾”箱</td></tr><tr><td colspan="1" rowspan="1">厨余垃圾</td><td colspan="1" rowspan="1">400</td><td colspan="1" rowspan="1">100</td><td colspan="1" rowspan="1">100</td></tr><tr><td colspan="1" rowspan="1">可回收物</td><td colspan="1" rowspan="1">30</td><td colspan="1" rowspan="1">240</td><td colspan="1" rowspan="1">30</td></tr><tr><td>其他垃圾</td><td>20</td><td>20</td><td>60</td></tr></table>

（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；

（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；

（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中 $\mathsf { a } > 0 , \mathsf { a } + \mathsf { b } + \mathsf { c } = 6 0 0$ ．当数据a，b，c的方差 $\mathsf { S } ^ { 2 }$ 最大时，写出a，b，c的值（结论不要求证明），并求此时 $\mathsf { S } ^ { 2 }$ 的值

（求： $S ^ { 2 } = \frac { 1 } { n } [ ( x _ { 1 } - \overline { { x } } ) ^ { 2 } + ( x _ { 2 } - \overline { { x } } ) ^ { 2 } + \ldots + ( x _ { n } - \overline { { x } } )$ ]，其中 $\overline { { \mathbf { x } } }$ 为数据 $\times _ { 1 } , ~ \times _ { 2 } , ~ \ldots ,$ ${ \sf X } _ { \sf \Pi }$ 的平均数）

19．（14分）已知椭圆C： $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > b > 0 )$ 的一个长轴顶点为A（2，0），

离心率为 $\frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$ ，直线 ${ \mathsf { y } } { = } { \mathsf { k } } \ \left( { \mathsf { x } } - 1 \right)$ 与椭圆C交于不同的两点M，N，

（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；

（Ⅱ）当 $\triangle \mathsf { A M N }$ 的面积为 $J { \frac { \sqrt { 1 0 } } { 3 } }$ 时，求k的值

20．（13分）设A是如下形式的2行3列的数表，

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1>a</td><td rowspan=1 colspan=1>b</td><td rowspan=1 colspan=1>C</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>d</td><td rowspan=1 colspan=1>e</td><td rowspan=1 colspan=1>f</td></tr></table>

满足性质 P：a，b，c，d，e，f∈[﹣1，1]，且 $\mathsf { a } + \mathsf { b } + \mathsf { c } + \mathsf { d } + \mathsf { e } + \mathsf { f } = 0$

记 ${ \sf r } _ { \mathrm { i } } ( \mathsf { A } )$ 为 A 的第 i 行各数之和 $( \mathsf { i } = 1 , 2 ) , \mathsf { C } _ { \mathsf { i } } ( \mathsf { A } )$ 为 A 的第 j 列各数之和（j=1，2，3）；记 k（A）为 $\left| \textsf { r } _ { 1 } \left( \textsf { A } \right) \ \right| , \quad \left| \textsf { r } _ { 2 } \left( \textsf { A } \right) \ \right| , \quad \left| \textsf { c } _ { 1 } \left( \textsf { A } \right) \ \right| , \quad \left| \mathsf { c } _ { 2 } \left( \textsf { A } \right) \ \right|$ $| \mathsf { c } _ { 3 } \mathsf { \Omega } ( \mathsf { A } )$ |中的最小值

（1）对如下数表A，求k（A）的值

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1>1</td><td rowspan=1 colspan=1>1</td><td rowspan=1 colspan=1>- 0.8</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>0.1</td><td rowspan=1 colspan=1>- 0.3</td><td rowspan=1 colspan=1>-1</td></tr></table>

②设数表 A 形如

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1>1</td><td rowspan=1 colspan=1>1</td><td rowspan=1 colspan=1>- 1 - 2d</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>d</td><td rowspan=1 colspan=1>d</td><td rowspan=1 colspan=1>-1</td></tr></table>

其中﹣1≤d≤0．求 k（A）的最大值；

（Ⅲ）对所有满足性质P的2行3列的数表A，求k（A）的最大值

1．（5 分）已知集合 $A=\{x \in R \mid 3 x+2>0\}, B=\{x \in R \mid(x+1)(x-3)>0\}$ ，则 $A \cap B=$

2．（5 分）设不等式组 $\left\{\begin{array}{l}0 \leqslant x \leqslant 2 \\ 0 \leqslant y \leqslant 2\end{array}\right.$ ，表示的平面区域为 D，在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是

3．（5 分）设 $a, b \in R$. ＂$a=0$＂是＂复数 $a+b i$ 是纯虚数＂的（）

4．（5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为