## 18．（本小题满分16分） 如图，在平面直角坐标系x…——2011 高考数学第 18 题答案解析

由椭圆方程 $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{2} = 1$ 可知，$a=2, b=\sqrt{2}$。
根据图形及题意，顶点 $M(-2, 0)$，$N(0, -\sqrt{2})$。

**(1)**
线段 $MN$ 的中点坐标为 $(\frac{-2+0}{2}, \frac{0-\sqrt{2}}{2})$，即 $(-1, -\frac{\sqrt{2}}{2})$。
因为直线 $PA$ 平分线段 $MN$，且直线 $PA$ 过原点 $O(0,0)$，所以直线 $PA$ 必经过线段 $MN$ 的中点。
故直线 $PA$ 的斜率 $k = \frac{-\frac{\sqrt{2}}{2} - 0}{-1 - 0} = \frac{\sqrt{2}}{2}$。

**(2)**
当 $k=2$ 时，直线 $PA$ 的方程为 $y=2x$。
联立直线与椭圆方程：
$\begin{cases} y=2x \\ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{2} = 1 \end{cases}$
代入得 $\frac{x^2}{4} + \frac{4x^2}{2} = 1 \Rightarrow \frac{9x^2}{4} = 1 \Rightarrow x^2 = \frac{4}{9}$。
解得 $x = \pm \frac{2}{3}$。
因为点 $P$ 在第一象限，所以 $P(\frac{2}{3}, \frac{4}{3})$，则 $A(-\frac{2}{3}, -\frac{4}{3})$。
由题意，$C$ 为 $P$ 在 $x$ 轴上的垂足，故 $C(\frac{2}{3}, 0)$。
直线 $AB$ 即直线 $AC$，其斜率 $k_{AC} = \frac{0 - (-\frac{4}{3})}{\frac{2}{3} - (-\frac{2}{3})} = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3}} = 1$。
所以直线 $AB$ 的方程为 $y - 0 = 1 \cdot (x - \frac{2}{3})$，即 $x - y - \frac{2}{3} = 0$，亦即 $3x - 3y - 2 = 0$。
点 $P(\frac{2}{3}, \frac{4}{3})$ 到直线 $AB$ 的距离 $d$ 为：
$d = \frac{|3 \times \frac{2}{3} - 3 \times \frac{4}{3} - 2|}{\sqrt{3^2 + (-3)^2}} = \frac{|2 - 4 - 2|}{\sqrt{18}} = \frac{4}{3\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$。

**(3)**
**证明：**
设直线 $PA$ 的斜率为 $k$ ($k>0$)，则直线 $PA$ 的方程为 $y=kx$。
联立 $\begin{cases} y=kx \\ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{2} = 1 \end{cases}$，消去 $y$ 得 $(1+2k^2)x^2 = 4$。
解得 $x = \pm \frac{2}{\sqrt{1+2k^2}}$。
设 $x_P = \frac{2}{\sqrt{1+2k^2}}$，则 $P(x_P, kx_P)$，$A(-x_P, -kx_P)$，$C(x_P, 0)$。
直线 $AB$ 过点 $A(-x_P, -kx_P)$ 和 $C(x_P, 0)$，其斜率 $k_{AB} = \frac{0 - (-kx_P)}{x_P - (-x_P)} = \frac{kx_P}{2x_P} = \frac{k}{2}$。
直线 $AB$ 的方程为 $y = \frac{k}{2}(x - x_P)$。
联立直线 $AB$ 与椭圆方程求点 $B$：
$\begin{cases} y = \frac{k}{2}(x - x_P) \\ x^2 + 2y^2 = 4 \end{cases}$
代入得 $x^2 + 2[\frac{k}{2}(x - x_P)]^2 = 4 \Rightarrow x^2 + \frac{k^2}{2}(x^2 - 2x_P x + x_P^2) = 4$。
整理得 $(2+k^2)x^2 - 2k^2 x_P x + k^2 x_P^2 - 8 = 0$。
因为点 $A(-x_P, -kx_P)$ 在椭圆上且在直线 $AB$ 上，所以 $x=-x_P$ 是方程的一个根。
由韦达定理，$x_A + x_B = -x_P + x_B = \frac{2k^2 x_P}{2+k^2}$。
所以 $x_B = \frac{2k^2 x_P}{2+k^2} + x_P = \frac{2k^2 x_P + 2x_P + k^2 x_P}{2+k^2} = \frac{x_P(3k^2+2)}{2+k^2}$。
代入直线 $AB$ 方程求 $y_B$：
$y_B = \frac{k}{2}(x_B - x_P) = \frac{k}{2} (\frac{3k^2 x_P + 2x_P - 2x_P - k^2 x_P}{2+k^2}) = \frac{k}{2} \cdot \frac{2k^2 x_P}{2+k^2} = \frac{k^3 x_P}{2+k^2}$。
即 $B(\frac{x_P(3k^2+2)}{2+k^2}, \frac{k^3 x_P}{2+k^2})$。
计算直线 $PB$ 的斜率 $k_{PB}$：
$k_{PB} = \frac{y_B - y_P}{x_B - x_P} = \frac{\frac{k^3 x_P}{2+k^2} - kx_P}{\frac{x_P(3k^2+2)}{2+k^2} - x_P}$
分子 $= kx_P (\frac{k^2}{2+k^2} - 1) = kx_P \frac{k^2 - 2 - k^2}{2+k^2} = \frac{-2kx_P}{2+k^2}$。
分母 $= x_P (\frac{3k^2+2}{2+k^2} - 1) = x_P \frac{3k^2+2 - 2 - k^2}{2+k^2} = \frac{2k^2 x_P}{2+k^2}$。
所以 $k_{PB} = \frac{\frac{-2kx_P}{2+k^2}}{\frac{2k^2 x_P}{2+k^2}} = \frac{-2k}{2k^2} = -\frac{1}{k}$。
因为 $k_{PA} = k$，所以 $k_{PA} \cdot k_{PB} = k \cdot (-\frac{1}{k}) = -1$。
故 $PA \perp PB$。