（20）（本小题满分 12 分） 设椭圆 C : x^ 2…——2010 高考数学第 20 题答案解析

设 $c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}$，则左焦点为 $F(-c,0)$。直线 $l$ 的倾斜角为 $60^\circ$，斜率为 $\sqrt3$，故
$$l:y=\sqrt3(x+c).$$
令 $x=\dfrac{y}{\sqrt3}-c$，代入椭圆方程得
$$\frac{(y/\sqrt3-c)^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,$$
化简为
$$(3a^2+b^2)y^2-2\sqrt3\,b^2cy-3b^4=0.$$
解得两根
$$y_+=\frac{\sqrt3 b^2(c+2a)}{3a^2+b^2},\qquad y_-=\frac{\sqrt3 b^2(c-2a)}{3a^2+b^2}.$$
其中 $y_+>0$，$y_-<0$，且 $|y_+|>|y_-|$。

对直线 $l$ 上一点 $P(x,y)$，有 $x+c=\dfrac{y}{\sqrt3}$，所以
$$|PF|=\sqrt{(x+c)^2+y^2}=\frac{2}{\sqrt3}|y|.$$
由 $\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB}$ 知 $F$ 在 $A,B$ 之间，且 $|AF|=2|FB|$。因此距 $F$ 较远的交点为 $A$，即 $A$ 对应 $y_+$，$B$ 对应 $y_-$，于是
$$|y_+|=2|y_-|.$$
即
$$\frac{\sqrt3 b^2(c+2a)}{3a^2+b^2} =2\cdot\frac{\sqrt3 b^2(2a-c)}{3a^2+b^2}.$$
约去公因式得
$$c+2a=4a-2c,$$
所以 $3c=2a$，离心率
$$e=\frac ca=\frac23.$$

由 $e=\dfrac23$ 得 $c=\dfrac23a$，于是
$$b^2=a^2-c^2=a^2-\frac49a^2=\frac59a^2.$$
又因为直线斜率为 $\sqrt3$，
$$|AB|=\sqrt{1+\left(\frac1{\sqrt3}\right)^2}\,|y_+-y_-| =\frac2{\sqrt3}|y_+-y_-|.$$
而
$$|y_+-y_-| =\frac{\sqrt3 b^2[(c+2a)-(c-2a)]}{3a^2+b^2} =\frac{4\sqrt3 ab^2}{3a^2+b^2}.$$
所以
$$|AB|=\frac2{\sqrt3}\cdot\frac{4\sqrt3 ab^2}{3a^2+b^2} =\frac{8ab^2}{3a^2+b^2}.$$
代入 $b^2=\dfrac59a^2$，得
$$|AB|=\frac{8a\cdot\frac59a^2}{3a^2+\frac59a^2} =\frac54a.$$
由 $|AB|=\dfrac{15}{4}$，得 $a=3$，从而 $b^2=5$。故椭圆方程为
$$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1.$$