（本小题满分12分）如图， A C D 是等边三角形， A…——2008 高考数学第 17 题答案解析

（1）由题意知 $\triangle ABC$ 为等腰直角三角形，$\angle ACB = 90^\circ$，且 $AB=2$。
$\therefore AC = BC = AB \cdot \sin 45^\circ = 2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$。
又 $\because \triangle ACD$ 是等边三角形，
$\therefore CD = AC = \sqrt{2}$，$\angle ACD = 60^\circ$。
$\therefore BC = CD$，即 $\triangle BCD$ 为等腰三角形。
$\angle BCD = \angle ACB + \angle ACD = 90^\circ + 60^\circ = 150^\circ$。
在 $\triangle BCD$ 中，$\angle CBE = \angle CBD = \frac{180^\circ - 150^\circ}{2} = 15^\circ$。
$\therefore \cos \angle CBE = \cos 15^\circ = \cos(45^\circ - 30^\circ)$
$= \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ$
$= \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$。

（2）在 $\triangle ABE$ 中，
$\angle ABE = \angle ABC - \angle CBE = 45^\circ - 15^\circ = 30^\circ$。
$\angle BAE = 45^\circ$（因为 $\triangle ABC$ 是等腰直角三角形）。
$\angle AEB = 180^\circ - (30^\circ + 45^\circ) = 105^\circ$。
由正弦定理 $\frac{AE}{\sin \angle ABE} = \frac{AB}{\sin \angle AEB}$，得：
$AE = \frac{AB \sin 30^\circ}{\sin 105^\circ}$。
$\because \sin 105^\circ = \sin(60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$。
$\therefore AE = \frac{2 \times \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{4(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} = \sqrt{6} - \sqrt{2}$。