2008 新课标卷（旧） 数学

已知集合 $\mathsf { M } = \{ \mathsf { x } | ( \mathsf { x } + 2 ) ( \mathsf { x } - 1 ) < 0 \}$ ， $\Nu = \{ \times \} \times + 1 < 0 \}$ ， 则 $\mathsf { M } \cap \mathsf { N } = \mathrm { ~ ( ~ \rho ~ ) ~ }$

双曲线 ${ \frac { x ^ { 2 } } { 1 0 } } - { \frac { y ^ { 2 } } { 2 } } = 1$ 的焦距为（ ）

设 $f ( x ) = x \ln x$ ，若 $f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = 2$ ，则 $x _ { 0 } = \mathrm { ~ ( ~ ) ~ }$

右面的程序框图，如果输入三个实数a、b、c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（ ）

已知 $a _ { \scriptscriptstyle 1 } > a _ { \scriptscriptstyle 2 } > a _ { \scriptscriptstyle 3 } > 0$ ，则使得 $\left( 1 - a _ { i } x \right) ^ { 2 } < 1 \left( i = 1 , 2 , 3 \right)$ 都成立的x取值范围是（ ）

设等比数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的公比 $q = 2$ ，前n项和为 $S _ { n }$ ，则 $\frac { S _ { 4 } } { a _ { 2 } } =$ （ ）

平面向量 $\overset { \vartriangle } { \boldsymbol { a } }$ ， $\vec { b }$ 共线的充要条件是（ ）

已知平面 $\alpha \perp$ 平面 $\beta$，$\alpha \cap \beta = l$，点 $A \in \alpha$，$A \notin l$，直线 $AB \parallel l$，直线 $AC \perp l$，直线 $m \parallel \alpha$，$m \parallel \beta$，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ ）

已知 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 为等差数列， $\mathtt { a } _ { 3 } + \mathtt { a } _ { 8 } = 2 2$ $\mathtt { a } _ { 6 } = 7$ ，则 $\mathtt { a } _ { 5 } =$

一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为 $\sqrt { 3 }$ ，底面周长为3，那么这个球的体积为

从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm），结果如下：由以上数据设计了如下茎叶图：

<table><tr><td>甲品种 :</td><td>271</td><td>273</td><td>280</td><td>285</td><td>285</td><td>287</td><td>292</td><td>294</td><td>295</td><td>301</td><td>303</td><td>303</td><td>307</td></tr><tr><td></td><td>308</td><td>310</td><td>314</td><td>319</td><td>323</td><td>325</td><td>325</td><td>328</td><td>331</td><td>334</td><td>337</td><td>352</td><td></td></tr><tr><td>乙品种 :</td><td>284</td><td>292</td><td>295</td><td>304</td><td>306</td><td>307</td><td>312</td><td>313</td><td>315</td><td>315</td><td>316</td><td>318</td><td>318</td></tr><tr><td></td><td>320</td><td>322 甲</td><td>322</td><td>324</td><td>327</td><td>329</td><td>331</td><td>333</td><td>336</td><td>337</td><td>343</td><td>356</td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>乙</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td rowspan="8"></td><td>7</td><td></td><td>3</td><td>1</td><td>27</td><td colspan="7"></td></tr><tr><td></td><td>5</td><td>5</td><td>0</td><td>28</td><td colspan="7">4</td></tr><tr><td></td><td>5</td><td>4</td><td>2</td><td>29</td><td colspan="7">2 5</td></tr><tr><td>8 7</td><td>3</td><td>3</td><td>1</td><td>30</td><td>4 6</td><td>7</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>9</td><td>4</td><td>0</td><td>31</td><td>2</td><td>3</td><td>5</td><td>5</td><td>6</td><td></td><td></td></tr><tr><td>8</td><td>5</td><td>5</td><td>3</td><td>32</td><td>0</td><td>2</td><td>2</td><td>4</td><td>7</td><td>8 9</td><td>8</td></tr><tr><td></td><td>7</td><td>4</td><td>1</td><td>33</td><td>1</td><td>3</td><td>6</td><td>7</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td>34</td><td>3</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td>2</td><td>35</td><td>6</td><td colspan="7"></td></tr></table>

根据以上茎叶图，对甲乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论： ① ②

（本小题满分12分）如图， $\triangle \mathsf { A C D }$ 是等边三角形， $\triangle A B C$ 是等腰直角三角形， $\angle A C B = 9 0 ^ { \circ }$ ，BD交 ${ \mathsf { A C } } ^ { }$ 于E， $\mathsf { A B } { = } 2$ 。（1）求 $\mathsf { c o s \mathcal { L } C B E }$ 的值；（2）求AE。

（本小题满分12分）为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查，6人得分情况如下：5，6，7，8，9，10。把这6名学生的得分看成一个总体。（1）求该总体的平均数；（2）用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本。求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率。

（本小题满分12分）已知$m\in\mathbb{R}$，直线$l$：$mx-(m^2+1)y=4m$和圆$C$：$x^2+y^2-8x+4y+16=0$。（1）求直线$l$斜率的取值范围；（2）直线$l$能否将圆$C$分割成弧长的比值为$\dfrac{1}{2}$的两段圆弧？为什么？

（本小题满分12分）设函数 $f ( x ) = a x - { \frac { b } { x } }$ ，曲线 $y = f ( x )$ 在点 $( 2 , f ( 2 ) )$ 处的切线方程为$7 x - 4 y - 1 2 = 0$ 。（1）求 $y = f ( x )$ 的解析式；（2）证明：曲线 $y = f ( x )$ 上任一点处的切线与直线 $x = 0$ 和直线 $y = x$ 所围成的三角形面积为定值，并求此定值。