（13 分）已知函数 f(x)= 1 4 x^ 3 -x^…——2019 高考数学第 19 题答案解析

（I）对函数 $f(x)=\frac{1}{4} x^{3}-x^{2}+x$ 求导，得：
$$f^{\prime}(x)=\frac{3}{4} x^{2}-2 x+1$$
令 $f^{\prime}(x)=1$，即 $\frac{3}{4} x^{2}-2 x+1=1$，化简得 $\frac{3}{4} x^{2}-2 x=0$，解得 $x=0$ 或 $x=\frac{8}{3}$。

当 $x=0$ 时，$f(0)=0$，切点为 $(0,0)$，切线方程为 $y-0=1 \cdot (x-0)$，即 $y=x$；
当 $x=\frac{8}{3}$ 时，$f\left(\frac{8}{3}\right)=\frac{1}{4} \times\left(\frac{8}{3}\right)^{3}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}+\frac{8}{3} = \frac{128}{27}-\frac{64}{9}+\frac{8}{3} = \frac{128-192+72}{27} = \frac{8}{27}$，切点为 $\left(\frac{8}{3}, \frac{8}{27}\right)$，切线方程为 $y-\frac{8}{27}=1 \cdot \left(x-\frac{8}{3}\right)$，即 $y=x-\frac{64}{27}$。

故所求切线方程为 $y=x$ 和 $y=x-\frac{64}{27}$。

（II）要证 $x-6 \leqslant f(x) \leqslant x$，等价于证 $-6 \leqslant f(x)-x \leqslant 0$。
设 $g(x)=f(x)-x=\frac{1}{4} x^{3}-x^{2}$，其中 $x \in[-2,4]$。
对 $g(x)$ 求导得：
$$g^{\prime}(x)=\frac{3}{4} x^{2}-2 x=\frac{3}{4} x\left(x-\frac{8}{3}\right)$$
令 $g^{\prime}(x)=0$，解得 $x=0$ 或 $x=\frac{8}{3}$。
分析 $g(x)$ 在区间 $[-2,4]$ 上的单调性：
1. 当 $x \in[-2,0)$ 时，$g^{\prime}(x)>0$，$g(x)$ 单调递增；
2. 当 $x \in\left(0, \frac{8}{3}\right)$ 时，$g^{\prime}(x)<0$，$g(x)$ 单调递减；
3. 当 $x \in\left(\frac{8}{3}, 4\right]$ 时，$g^{\prime}(x)>0$，$g(x)$ 单调递增。

计算关键点的函数值：
$g(-2)=\frac{1}{4}(-8)-4=-2-4=-6$；
$g(0)=0$；
$g\left(\frac{8}{3}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{8}{3}\right)^{3}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{128}{27}-\frac{64}{9}=\frac{128-192}{27}=-\frac{64}{27}$；
$g(4)=\frac{1}{4}(64)-16=16-16=0$。

比较可知，$g(x)$ 的最小值为 $g(-2)=-6$，最大值为 $g(0)=g(4)=0$。
因此，对于任意 $x \in[-2,4]$，都有 $-6 \leqslant g(x) \leqslant 0$，即 $-6 \leqslant f(x)-x \leqslant 0$，从而 $x-6 \leqslant f(x) \leqslant x$ 成立。

（III）由题意，$F(x)=|f(x)-(x+a)|=|(f(x)-x)-a|$。
令 $g(x)=f(x)-x$，由（II）知，当 $x \in[-2,4]$ 时，$g(x)$ 的值域为 $[-6,0]$。
设 $t=g(x)$，则 $t \in[-6,0]$。问题转化为求函数 $h(t)=|t-a|$ 在区间 $[-6,0]$ 上的最大值 $M(a)$ 的最小值。
$h(t)$ 表示数轴上点 $t$ 到点 $a$ 的距离。
$M(a)=\max _{t \in[-6,0]}|t-a|=\max \{|-6-a|,|0-a|\}=\max \{|a+6|,|a|\}$。

我们要寻找 $a$ 使得 $M(a)$ 最小。
1. 若 $a < -3$，则 $|a| > |-3|=3$，且 $|a+6| < |3|=3$（因为 $a$ 更靠近 $-6$ 侧的端点或者中间，但距离 $0$ 更远）。具体地，当 $a < -3$ 时，$-a > 3$，$a+6 < 3$。此时 $M(a) = -a$。由于 $a < -3$，$-a > 3$，所以 $M(a) > 3$。
2. 若 $a > -3$，则 $|a+6| > 3$，且 $|a| < 3$（若 $a<3$）或 $|a|>3$。具体地，当 $a > -3$ 时，$a+6 > 3$。此时 $M(a) = a+6$。由于 $a > -3$，$a+6 > 3$，所以 $M(a) > 3$。
3. 若 $a = -3$，则 $|-6-(-3)| = |-3|=3$，$|0-(-3)| = 3$。此时 $M(-3)=3$。

综上，当 $a=-3$ 时，$M(a)$ 取得最小值 $3$。
故当 $M(a)$ 最小时，$a$ 的值为 $-3$。