（15分）（2016•浙江）如图，设抛物线 y ^ 2 =…——2016 高考数学第 19 题答案解析

（Ⅰ）由抛物线定义可知，抛物线上任意一点到焦点 $F$ 的距离等于该点到准线的距离。
设抛物线方程为 $y^2 = 2px (p>0)$，则其准线方程为 $x = -\frac{p}{2}$。
设点 $A(x_A, y_A)$，则点 $A$ 到 $y$ 轴的距离为 $x_A$（因 $A$ 在抛物线上且 $p>0$，故 $x_A \ge 0$）。
点 $A$ 到焦点 $F$ 的距离 $|AF|$ 等于点 $A$ 到准线 $x = -\frac{p}{2}$ 的距离，即 $|AF| = x_A + \frac{p}{2}$。
根据题意，$x_A = |AF| - 1$，代入得：
$x_A = (x_A + \frac{p}{2}) - 1$
化简得 $\frac{p}{2} = 1$，解得 $p = 2$。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 $p=2$，抛物线方程为 $y^2 = 4x$，焦点 $F(1, 0)$。
设直线 $AF$ 的斜率为 $k$。由于直线 $AF$ 与抛物线交于两点，且若 $AF \perp x$ 轴时 $A(1,2), B(1,-2)$，此时 $AB$ 垂直 $x$ 轴，过 $F$ 与 $AB$ 垂直的直线为 $x$ 轴，过 $B$ 平行 $x$ 轴的直线为 $y=-2$，交点 $N$ 不存在或需单独讨论。但题目中 $N$ 为两直线交点，通常隐含斜率存在且不为0的情况。
为方便计算，设直线 $AF$ 的方程为 $x = my + 1$ ($m \neq 0$)。
联立直线与抛物线方程：
$\begin{cases} x = my + 1 \\ y^2 = 4x \end{cases} \implies y^2 - 4my - 4 = 0$
设 $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$，则 $y_1, y_2$ 是上述方程的两根。
由韦达定理得：$y_1 y_2 = -4$。
不妨设 $A$ 点纵坐标为 $y_1 = t (t \neq 0)$，则 $B$ 点纵坐标 $y_2 = -\frac{4}{t}$。
对应的横坐标为 $x_1 = \frac{t^2}{4}, x_2 = \frac{4}{t^2}$。
即 $A(\frac{t^2}{4}, t), B(\frac{4}{t^2}, -\frac{4}{t})$。
注意：当 $t = \pm 2$ 时，$x_1=1, x_2=1$，此时直线 $AB$ 垂直于 $x$ 轴，斜率不存在，后续步骤中涉及斜率的计算需排除此情况，即 $t \neq \pm 2$。

1. **求点 $N$ 的坐标**
直线 $BN$ 过点 $B$ 且平行于 $x$ 轴，故直线 $BN$ 的方程为：
$y = -\frac{4}{t}$

直线 $FN$ 过点 $F(1, 0)$ 且垂直于 $AB$。
直线 $AB$ 的斜率 $k_{AB} = \frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} = \frac{t - (-\frac{4}{t})}{\frac{t^2}{4} - \frac{4}{t^2}} = \frac{\frac{t^2+4}{t}}{\frac{t^4-16}{4t^2}} = \frac{4t(t^2+4)}{(t^2-4)(t^2+4)} = \frac{4t}{t^2-4}$。
因为 $FN \perp AB$，所以直线 $FN$ 的斜率 $k_{FN} = -\frac{1}{k_{AB}} = -\frac{t^2-4}{4t} = \frac{4-t^2}{4t}$。
直线 $FN$ 的方程为：
$y - 0 = \frac{4-t^2}{4t}(x - 1)$

联立直线 $BN$ 和 $FN$ 的方程求交点 $N(x_N, y_N)$：
$-\frac{4}{t} = \frac{4-t^2}{4t}(x_N - 1)$
两边同乘 $4t$（$t \neq 0$）：
$-16 = (4-t^2)(x_N - 1)$
$x_N - 1 = \frac{-16}{4-t^2} = \frac{16}{t^2-4}$
$x_N = 1 + \frac{16}{t^2-4} = \frac{t^2-4+16}{t^2-4} = \frac{t^2+12}{t^2-4}$
所以 $N(\frac{t^2+12}{t^2-4}, -\frac{4}{t})$。

2. **求点 $M$ 的横坐标 $m$**
点 $M(m, 0)$ 在 $x$ 轴上，且 $A, M, N$ 三点共线。
$A(\frac{t^2}{4}, t), N(\frac{t^2+12}{t^2-4}, -\frac{4}{t}), M(m, 0)$。
由 $k_{AM} = k_{AN}$（或 $k_{AM} = k_{MN}$），利用 $A, M, N$ 共线条件：
$\frac{t - 0}{\frac{t^2}{4} - m} = \frac{t - (-\frac{4}{t})}{\frac{t^2}{4} - \frac{t^2+12}{t^2-4}}$

先化简右边分母：
$\frac{t^2}{4} - \frac{t^2+12}{t^2-4} = \frac{t^2(t^2-4) - 4(t^2+12)}{4(t^2-4)} = \frac{t^4 - 4t^2 - 4t^2 - 48}{4(t^2-4)} = \frac{t^4 - 8t^2 - 48}{4(t^2-4)}$
分子因式分解：$t^4 - 8t^2 - 48 = (t^2-12)(t^2+4)$。
所以右边分母为 $\frac{(t^2-12)(t^2+4)}{4(t^2-4)}$。

右边分子为 $t + \frac{4}{t} = \frac{t^2+4}{t}$。

所以 $k_{AN} = \frac{\frac{t^2+4}{t}}{\frac{(t^2-12)(t^2+4)}{4(t^2-4)}} = \frac{t^2+4}{t} \cdot \frac{4(t^2-4)}{(t^2-12)(t^2+4)} = \frac{4(t^2-4)}{t(t^2-12)}$。

左边 $k_{AM} = \frac{t}{\frac{t^2}{4} - m} = \frac{4t}{t^2 - 4m}$。

令 $k_{AM} = k_{AN}$：
$\frac{4t}{t^2 - 4m} = \frac{4(t^2-4)}{t(t^2-12)}$
消去 4：
$\frac{t}{t^2 - 4m} = \frac{t^2-4}{t(t^2-12)}$
交叉相乘：
$t^2(t^2-12) = (t^2-4)(t^2-4m)$
$t^4 - 12t^2 = t^4 - 4mt^2 - 4t^2 + 16m$
$-12t^2 = -4mt^2 - 4t^2 + 16m$
$-8t^2 = -4mt^2 + 16m$
$2t^2 = mt^2 - 4m$
$2t^2 = m(t^2 - 4)$
$m = \frac{2t^2}{t^2 - 4}$

3. **求 $m$ 的取值范围**
由 $m = \frac{2t^2}{t^2 - 4}$，变形得：
$m = \frac{2(t^2 - 4) + 8}{t^2 - 4} = 2 + \frac{8}{t^2 - 4}$

分析变量 $t$ 的限制条件：
(1) $A, B$ 是抛物线上不同的点，且直线 $AF$ 存在，故 $t \neq 0$。
(2) 直线 $AB$ 斜率存在且不为0（否则 $FN$ 斜率不存在或为0，导致几何构型退化或无解），故 $t^2 \neq 4$，即 $t \neq \pm 2$。
(3) $t^2 > 0$ 且 $t^2 \neq 4$。

令 $u = t^2 - 4$。
因为 $t^2 > 0$ 且 $t^2 \neq 4$，所以 $u \in (-4, 0) \cup (0, +\infty)$。

当 $u \in (-4, 0)$ 时，$\frac{8}{u} \in (-\infty, -2)$。
此时 $m = 2 + \frac{8}{u} \in (-\infty, 0)$。

当 $u \in (0, +\infty)$ 时，$\frac{8}{u} \in (0, +\infty)$。
此时 $m = 2 + \frac{8}{u} \in (2, +\infty)$。

综上所述，$m$ 的取值范围是 $(-\infty, 0) \cup (2, +\infty)$。