（14分）已知A，B，C是椭圆W： x ^ 2 4 + y…——2013 高考数学第 19 题答案解析

（Ⅰ）椭圆右顶点为 $B(2,0)$。若 $OABC$ 为菱形，则对角线 $OB$ 与 $AC$ 互相垂直平分。$OB$ 在 $x$ 轴上，其中点为 $(1,0)$，故 $AC$ 的方程为 $x=1$。代入 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$，得 $y=\pm\frac{\sqrt3}{2}$，所以 $|AC|=\sqrt3$。又 $|OB|=2$，菱形面积为
$S=\frac12|OB|\cdot|AC|=\frac12\cdot2\cdot\sqrt3=\sqrt3$。

（Ⅱ）设 $A(x_1,y_1)$，$C(x_2,y_2)$。若 $OABC$ 为菱形，则其为平行四边形，对角线互相平分，故 $B=A+C$；且 $|OA|=|OC|$，即
$x_1^2+y_1^2=x_2^2+y_2^2$。
又 $A,C$ 在椭圆上，
$\frac{x_1^2}{4}+y_1^2=1$，$\frac{x_2^2}{4}+y_2^2=1$。
两式相减得
$\frac{x_1^2-x_2^2}{4}+y_1^2-y_2^2=0$。
与 $x_1^2-x_2^2+y_1^2-y_2^2=0$ 相减，得
$\frac34(x_1^2-x_2^2)=0$，故 $x_1^2=x_2^2$。

若 $x_1=x_2$，且 $A,C$ 不重合，则 $y_1=-y_2$，于是 $B=(2x_1,0)$。由 $B$ 在椭圆上得 $x_1^2=1$，所以 $B=(2,0)$ 或 $(-2,0)$，为椭圆顶点。

若 $x_1=-x_2$，则 $y_1^2=y_2^2$。当 $y_1=-y_2$ 时，$B=(0,0)$，不在椭圆上；当 $y_1=y_2$ 时，$B=(0,2y_1)$，由 $B$ 在椭圆上得 $4y_1^2=1$，所以 $B=(0,1)$ 或 $(0,-1)$，仍为椭圆顶点。

因此若 $OABC$ 为菱形，则 $B$ 必为椭圆顶点；当 $B$ 不是 $W$ 的顶点时，四边形 $OABC$ 不可能为菱形。