2019_新课标 II 卷 (2019·理)
19.
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, b_{1}=0,4 a_{n+1}=3 a_{n}-b_{n}+4,4 b_{n+1}=3 b_{n}-a_{n}-4$ ．
（1）证明：$\left\{a_{n}+b_{n}\right\}$ 是等比数列，$\left\{a_{n}-b_{n}\right\}$ 是等差数列；
（2）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式。
（1）见解析；②$a_{n}=\frac{1}{2^{n}}+n-\frac{1}{2}, b_{n}=\frac{1}{2^{n}}-n+\frac{1}{2}$ 。
（1）将两个递推式相加，得
$4a_{n+1}+4b_{n+1}=(3a_n-b_n+4)+(3b_n-a_n-4)=2a_n+2b_n$，
即
$a_{n+1}+b_{n+1}=\frac12(a_n+b_n)$。
又 $a_1+b_1=1$，所以 $\{a_n+b_n\}$ 是首项为 $1$、公比为 $\frac12$ 的等比数列。
将两个递推式相减，得
$4a_{n+1}-4b_{n+1}=(3a_n-b_n+4)-(3b_n-a_n-4)=4a_n-4b_n+8$，
即
$a_{n+1}-b_{n+1}=a_n-b_n+2$。
又 $a_1-b_1=1$，所以 $\{a_n-b_n\}$ 是首项为 $1$、公差为 $2$ 的等差数列。
（2）由（1）可得
$a_n+b_n=\left(\frac12\right)^{n-1}$，
$a_n-b_n=1+2(n-1)=2n-1$。
于是
$a_n=\frac12[(a_n+b_n)+(a_n-b_n)]=\frac12\left[\left(\frac12\right)^{n-1}+2n-1\right]=\frac{1}{2^{n}}+n-\frac12$，
$b_n=\frac12[(a_n+b_n)-(a_n-b_n)]=\frac12\left[\left(\frac12\right)^{n-1}-(2n-1)\right]=\frac{1}{2^{n}}-n+\frac12$。
综上，$a_n=\frac{1}{2^{n}}+n-\frac{1}{2},\ b_n=\frac{1}{2^{n}}-n+\frac{1}{2}$。
只讲你不懂的那一步，不用把整道题重讲一遍。答案和完整解析就在上面，不用聊天也能看。
可以再试一道相同方法、不同题面的题，确认是否真正掌握。
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。