（本小题满分 13 分） 某企业接到生产 3000 台某产…——2012 高考数学第 20 题答案解析

（I）设生产 $A$ 部件的人数为 $x$，则生产 $B$ 部件的人数为 $kx$，生产 $C$ 部件的人数为 $200-(1+k)x$。
由题意，需生产 $A$ 部件 $3000 \times 2 = 6000$ 件，$B$ 部件 $3000 \times 2 = 6000$ 件，$C$ 部件 $3000 \times 1 = 3000$ 件。
各工人日产量分别为：$A$ 部件 6 件，$B$ 部件 3 件，$C$ 部件 2 件。
故完成三种部件生产所需时间（单位：天）分别为：
$$T_1(x) = \frac{6000}{6x} = \frac{1000}{x}$$
$$T_2(x) = \frac{6000}{3kx} = \frac{2000}{kx}$$
$$T_3(x) = \frac{3000}{2[200-(1+k)x]} = \frac{1500}{200-(1+k)x}$$
其中 $x, kx, 200-(1+k)x$ 均为正整数，且 $0 < x < \frac{200}{1+k}$。

（II）完成订单任务的总时间为 $f(x) = \max\{T_1(x), T_2(x), T_3(x)\}$。
注意到 $T_1(x)$ 与 $T_2(x)$ 均随 $x$ 增大而减小，$T_3(x)$ 随 $x$ 增大而增大。
且 $T_2(x) = \frac{2}{k}T_1(x)$。分情况讨论正整数 $k$ 的取值：

1. 当 $k=2$ 时，$T_1(x) = T_2(x)$。
此时 $f(x) = \max\left\{\frac{1000}{x}, \frac{1500}{200-3x}\right\}$。
令 $\frac{1000}{x} = \frac{1500}{200-3x}$，解得 $x = \frac{400}{9} \approx 44.44$。
因 $x$ 为正整数，比较 $x=44$ 和 $x=45$ 时的函数值：
当 $x=44$ 时，$T_1(44) = \frac{1000}{44} = \frac{250}{11}$，$T_3(44) = \frac{1500}{200-132} = \frac{1500}{68} = \frac{375}{17}$。
因 $\frac{250}{11} \approx 22.73$，$\frac{375}{17} \approx 22.06$，故 $f(44) = \frac{250}{11}$。
当 $x=45$ 时，$T_1(45) = \frac{1000}{45} = \frac{200}{9}$，$T_3(45) = \frac{1500}{200-135} = \frac{1500}{65} = \frac{300}{13}$。
因 $\frac{200}{9} \approx 22.22$，$\frac{300}{13} \approx 23.08$，故 $f(45) = \frac{300}{13}$。
比较可知 $\frac{250}{11} < \frac{300}{13}$，故当 $x=44$ 时取得最小值 $\frac{250}{11}$。
此时人数分配为：$A$ 组 44 人，$B$ 组 $2 \times 44 = 88$ 人，$C$ 组 $200 - 44 - 88 = 68$ 人。

2. 当 $k > 2$ 时（即 $k \ge 3$），$T_2(x) < T_1(x)$。
此时 $f(x) = \max\{T_1(x), T_3(x)\}$。
由于 $k \ge 3$，则 $200-(1+k)x \le 200-4x$，故 $T_3(x) \ge \frac{1500}{200-4x} = \frac{375}{50-x}$。
令 $g(x) = \max\left\{\frac{1000}{x}, \frac{375}{50-x}\right\}$，显然 $f(x) \ge g(x)$。
令 $\frac{1000}{x} = \frac{375}{50-x}$，解得 $x = \frac{400}{11} \approx 36.36$。
考察 $x=36$ 和 $x=37$：
$g(36) = \max\left\{\frac{1000}{36}, \frac{375}{14}\right\} = \frac{375}{14} \approx 26.79$；
$g(37) = \max\left\{\frac{1000}{37}, \frac{375}{13}\right\} = \frac{375}{13} \approx 28.85$。
此最小值 $\frac{375}{14}$ 明显大于 $k=2$ 时的 $\frac{250}{11}$（约 22.73）。
故 $k > 2$ 时无法得到更短时间。

3. 当 $k < 2$ 时（即 $k=1$），$T_2(x) > T_1(x)$。
此时 $f(x) = \max\{T_2(x), T_3(x)\} = \max\left\{\frac{2000}{x}, \frac{1500}{200-2x}\right\} = \max\left\{\frac{2000}{x}, \frac{750}{100-x}\right\}$。
令 $\frac{2000}{x} = \frac{750}{100-x}$，解得 $x = \frac{800}{11} \approx 72.72$。
考察 $x=72$ 和 $x=73$：
$x=72$ 时，$T_2(72) = \frac{2000}{72} = \frac{250}{9} \approx 27.78$，$T_3(72) = \frac{750}{28} \approx 26.79$，最大值为 $\frac{250}{9}$。
$x=73$ 时，$T_2(73) = \frac{2000}{73} \approx 27.40$，$T_3(73) = \frac{750}{27} = \frac{250}{9} \approx 27.78$，最大值为 $\frac{250}{9}$。
此最小值 $\frac{250}{9}$ 大于 $k=2$ 时的 $\frac{250}{11}$。

综上所述，当 $k=2$ 时完成订单任务的时间最短，最短时间为 $\frac{250}{11}$ 天。
此时具体的人数分组方案为：生产 $A$ 部件 44 人，生产 $B$ 部件 88 人，生产 $C$ 部件 68 人。