如图，在几何体 ABCDE 中，四边形 ABCD 是矩形，…——2015 高考数学第 17 题答案解析

（I）取 $AE$ 的中点 $H$，连接 $HG, HD$．
因为 $G$ 是 $BE$ 的中点，所以 $GH$ 是 $\triangle ABE$ 的中位线，故 $GH // AB$ 且 $GH = \frac{1}{2}AB$．
在矩形 $ABCD$ 中，$F$ 是 $CD$ 的中点，所以 $DF = \frac{1}{2}CD$．
又因为 $AB // CD$ 且 $AB = CD$，所以 $GH // DF$ 且 $GH = DF$．
从而四边形 $HGFD$ 为平行四边形，故 $GF // DH$．
因为 $DH \subset$ 平面 $ADE$，$GF \not\subset$ 平面 $ADE$，
所以 $GF //$ 平面 $ADE$．

（II）因为 $AB \perp$ 平面 $BEC$，所以 $AB \perp BE, AB \perp EC$．
又 $BE \perp EC$，如图建立空间直角坐标系，以 $B$ 为原点，分别以 $\overrightarrow{BE}, \overrightarrow{BA}$ 的方向为 $x$ 轴、$z$ 轴的正方向，过 $B$ 作平行于 $EC$ 的直线为 $y$ 轴．
由题意知 $AB=BE=EC=2$，则各点坐标为：
$B(0,0,0), E(2,0,0), A(0,0,2)$．
因为 $BC$ 在 $yOz$ 平面投影为 $y$ 轴方向（实际 $C$ 点坐标需推导：$E(2,0,0)$，$\overrightarrow{EC}$ 平行 $y$ 轴且长度为 2，故 $C(2,2,0)$），
$D$ 点由 $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=(2,2,0)$ 得 $D(2,2,2)$．
$F$ 为 $CD$ 中点，故 $F(2,2,1)$．

平面 $BEC$ 即 $xOy$ 平面，其法向量可取 $\vec{m} = (0,0,1)$（即 $\overrightarrow{BA}$ 方向）．
设平面 $AEF$ 的法向量为 $\vec{n} = (x,y,z)$．
$\overrightarrow{AE} = (2,0,-2), \overrightarrow{AF} = (2,2,-1)$．
由 $\begin{cases} \vec{n} \cdot \overrightarrow{AE} = 2x - 2z = 0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{AF} = 2x + 2y - z = 0 \end{cases}$，
令 $x=1$，则 $z=1, y=-\frac{1}{2}$．
取 $\vec{n} = (2, -1, 2)$．

设平面 $AEF$ 与平面 $BEC$ 所成锐二面角为 $\theta$，则
$\cos \theta = |\cos \langle \vec{n}, \vec{m} \rangle| = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{m}|}{|\vec{n}| |\vec{m}|} = \frac{|2 \times 0 + (-1) \times 0 + 2 \times 1|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2} \cdot 1} = \frac{2}{\sqrt{9}} = \frac{2}{3}$．
故平面 $AEF$ 与平面 $BEC$ 所成锐二面角的余弦值为 $\frac{2}{3}$．